點樣可以方便地find out平方根和立方根?

首先, 這可以利用牛頓公式 (Newton's formula) 來求出任何數的平方根和立方根. 詳情如下:
平方根:
圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Squareroot.jpg
..........(1)
立方根:
圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Cuberoot.jpg
............(2)
在以上兩式中均用了重複的代入法 (repeated/consecutive iteration). 在兩式中, a 皆為要求根的原數, 例如 17. 此數在每次的代入中都保持一樣不改變的. 至於 x1, 即第一個的數可以憑估計而決出的.
現在就示範如何求 2 的平方和立方根. 先是平方根, x1 的估計先為 1.5:
x2 = (1/2)(1.5 + 2/1.5) = 1.417 (準確至 3 小數位)
x3 = (1/2)(1.417 + 2/1.417) = 1.414
x4 = (1/2)(1.414 + 2/1.414) = 1.414
當發現現時的 x 與上一個 x 之差額合理地小時即可停止. 至於何謂合理地小則視乎閣下所需的準確度.
同樣地, 立方根的做法, 亦是 x1 的估計先為 1.5:
x2 = (1/3)(2×1.5 + 2/1.52) = 1.296 (準確至 3 小數位)
x3 = (1/3)(2×1.296 + 2/1.2962) = 1.261
x4 = (1/3)(2×1.261 + 2/1.2612) = 1.260
所以 2 之立方根為 1.260.
而其餘的數之平/立方根皆可以此方法求出, 表列如下:
數值 3: (估值 x1 = 1.7, 可隨意選)




階段


平方根


立方根



x2


1.732


1.479



x3


1.732


1.443



x4


1.732


1.442



x5


1.732


1.442

數值 5: (估值 x1 = 2)




階段


平方根


立方根



x2


2.25


1.75



x3


2.236


1.711



x4


2.236


1.710



x5


2.236


1.710

數值 7: (估值 x1 = 2.3)




階段


平方根


立方根



x2


2.672


1.974



x3


2.646


1.915



x4


2.646


1.913



x5


2.646


1.913

數值 11: (估值 x1 = 3)




階段


平方根


立方根



x2


3.333


2.407



x3


3.317


2.238



x4


3.317


2.224



x5


3.317


2.224

數值 13: (估值 x1 = 3)




階段


平方根


立方根



x2


3.667


2.481



x3


3.606


2.358



x4


3.606


2.351



x5


3.606


2.351

數值 17: (估值 x1 = 4)




階段


平方根


立方根



x2


4.125


3.021



x3


4.123


2.635



x4


4.123


2.573



x5


4.123


2.571

數值 19: (估值 x1 = 4)




階段


平方根


立方根



x2


4.375


3.063



x3


4.359


2.717



x4


4.359


2.669



x5


4.359


2.668

由此可見, 若要小數三位的準確度, 做到 x5 時可以算是有了一個不俗的準確度了. 事實上, 無論你開頭的 x1 是估幾多都好, 做了一定的次數之後都可以達致一個頗為準確的結果. 但無論如何, 仍是要借助計算機的幫忙, 只在於不是用其內置的直接方法吧了.

I do not understand!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

好難呀!!

Use your calculator, or refer to a graph, because most of these number you are asking for are irrational.
The following numbers are all corrected to 4 sig. fig.
Square roots:
2- 1.414
3- 1.732
5- 2.236
7- 2.646
11- 3.317
13- 3.606
17- 4.123
19- 4.359
Cube roots:
2- 1.260
3- 1.442
5- 1.710
7- 1.913
11- 2.224
13- 2.351
17- 2.571
19- 2.668