配方法(Math)唔識

已知2個數之和係20,想知佢地平方和既極小值...

設其中一個數為 x，另一個數是 20-x

它們平方之和

= x2 + (20 - x)2

= x2 + 400 - 40x + x2

= 2x2 - 40x + 400

= 2(x2 - 20x) + 400

= 2[x2 - 2(10)x + (10)2] - 2(10)2 + 400 【使用配方法】

= 2(x - 10)2 - 200 + 400 【結果變成了 (x - 10)2】

= 2(x - 10)2 + 200

當 x = 10 時，(x - 10)2 = 0，平方之和取小，最小值是 200。

2007-01-09 22:56:11 補充：
小小補充：應用配方法 (completing square) 時，技巧如下：當你有 ax² + bx + c ax² + bx + c= a[x² + (b/a)x] + c= a[x² + 2(b/2a)x] + c= a[x² + 2(b/2a)x + (b/2a)²] - a(b/2a)² + c= a(x + b/2a)² - a(b/2a)² + c只要先把 x² 和 x 項抽在一起就比較容易了。

設2數為 u,v
u+v=20
v=20-u

找 u^2+v^2 的極小值
設 f(u) = u^2 + (20-u)^2
f'(u) = 2u+2(20-u)(-1)
f'(u) = 2u -40+2u
f'(u) = 4u-40

f"(u) = 4

當f'(10)=0 時, 因 f"(10)=4 大過 0, 所以 u=10 , v=10 他們的平方和是極小值