Math question: sequence

This sequence is called a Fibonacci sequence
which is defined as T_1 = T_2 = 1 and Tn = T_(n - 1) + T_(n - 2) for n ≥ 3
如果你係中學既話上面已經足夠

但如果想埋formula就係
Tn = [ (1 + √5)^n - (1 - √5)^n ] / (2^n √5)
下面個個好似靚仔d
(１＋√５)^n － (１－√５)^n
________________________
　　　　２^n　√５

1,1,2,3,5,8,13,21,(44)

1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
8+13=21
so13+21=44

This sequence is called a Fibonacci sequence
which is defined as T_1 = T_2 = 1 and Tn = T_(n - 1) + T_(n - 2) for n ≥ 3
如果你係中學既話上面已經足夠

但如果想埋formula就係
Tn = [ (1 + √5)^n - (1 - √5)^n ] / (2^n √5)
下面個個好似靚仔d
(１＋√５)^n － (１－√５)^n
________________________
　　　　２^n　√５

斐波那契數列（Fibonacci numbers），台灣譯為費伯納西數列。

在數學上，斐波那契數列是以遞歸的方法來定義：

F0 = 0
F1 = 1
Fn = Fn - 1 + Fn - 2
用文字來說，就是斐波那契數列由0和1開始，之後的斐波那契數就由之前的兩數相加。首幾個斐波那契數是：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

源起
根據高德納的《計算機程序設計藝術》，1150年印度數學家Gopala和Hemachandra在研究箱子包裝物件長闊剛好為1和2的可行方法數目時，首先描述這個數列。在西方，最先研究這個數列的人是比薩的李奧納多（又名斐波那契），他描述兔子生長的數目時用上了這數列。

第一個月有一對剛誕生的兔子
第兩個月之後牠們可以生育
每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子
兔子永不死去
假設在n月有新生及可生育的兔子總共a對，n+1月就總共有b對。在n+2月必定總共有a+b對：因為在n+2月的時候，所有在n月就已存在的a對兔子皆已可以生育並誕下a對後代；同時在前一月(n+1月)之b對兔子中，在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育。





[編輯] 表達式
為求得斐波那契數列的一般表達式，可以藉助線性代數的方法。


[編輯] 線性代數解法
1 首先構建一個矩陣方程

設Jn為第n個月新出生的兔子數量，An為這一月份的兔子數量。


上式表達了兩個月之間，兔子數目之間的關係。而要求的是，An+1的表達式。




2 求矩陣的特徵值: λ

行列式：-λ*(1-λ)-1*1=λ²-λ-1

當行列式的值為0，解得λ1= 或 λ2=


3 特徵向量

將兩個特徵值代入


求特徵向量 得

=

=


4 分解首向量

第一個月的情況是兔子一對，新生0對。


將它分解為用特徵向量表示。

（4）

5 用數學歸納法證明

從

=
可得

（5）

6 化簡矩陣方程

將（4） 代入 （5）


根據 3



7 求A的表達式

現在在6的基礎上，可以很快求出An+1 的表達式,將兩個特徵值代入 6 中



(7)
(7)即為An+1 的表達式


[編輯] 近似值


[編輯] 用電腦求解
可通過編程觀察斐波那契數列。分為兩類問題，一種已知數列中的某一項，求序數。第二種是已知序數，求該項的值。

可通過遞歸的演算法解決此兩個問題。


[編輯] 和黃金分割的關係
開普勒發現兩個斐波那契數的比會趨近黃金分割：


斐波那契數亦可以用連分數來表示：





而黃金分割數亦可以用無限連分數表示：



[編輯] 恆等式
證明以下的恆等式有很多方法。以下會用組合論述來證明。Fn可以表示成用多個1和多個2相加令其和等於n-1的方法的數目。例如F0 = 0，表示沒有方法可以加到0。在這裡加的過程中，先後次序不同但使用1和使用2的數目一樣的兩個方法視為不同。例如 1+1+2 和 2+1+1 是兩個不同的方法。

Fn + 1 = Fn + Fn − 1
不失一般性，我們假設n ≥ 1。Fn + 1是計算了將1和2加到n的方法的數目。若第一個被加數是1，有Fn種方法來完成對n-1的計算；若第一個被加數是2，有F(n-1)來完成對n-2的計算。因此，共有Fn + Fn - 1種方法來計算n的值。

F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn + 2 - 1
計算用多個1和多個2相加令其和等於n+1的方法的數目，同時最後一個加數是2的情況。

如前所述，當n ≥ 0，有Fn + 2種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用2，就即 1 + 1 + ... + 1　（n+1項），於是我們從Fn + 2減去1。

若第1個被加數是2，有Fn個方法來計算加至n-1的方法的數目；
若第2個被加數是2、第1個被加數是1，有Fn - 1個方法來計算加至n-2的方法的數目。
重覆以上動作。
若第n+1個被加數為2，它之前的被加數均為1，就有F(0)個方法來計算加至0的數目。
若該數式包含2為被加數，2的首次出現位置必然在第1和n+1的被加數之間。2在不同位置的情況都考慮到後，得出Fn + Fn - 1 + ... + F0為要求的數目。

F1 + 2F2 + 3F3 + ... + nFn = nFn + 2 - Fn + 3 + 2
F1 + F3 + F5 + ... + F2n - 1 = F2n
F2 + F4 + F6 + ... + F2n = F2n + 1 - 1