幫幫手 about恒等式問題 (數學) 小弟唔識恒等式

話明「恆等」
就係無論條式入面ge變數(x,y,z o個d)係咩都好
左邊都一定等於右邊
而且, 好多時你自己都可以從左邊ge樣
砌到另一邊ge樣

俾一個比較誇張ge例子:
2(x+1) = 2x + 2
你可以見到, 無論x係乜都好, 兩邊ge答案都會一樣

咁你可能會問
既然都一樣, 學來做乜??
其實咁樣都係為佐方便計算
因為有時候我地見到一條式個樣非常難計
但係當運用恆等式
將佢「變身」, 變成另一個樣ge時候
可能你就會話
「超!! 咁易ga咋」

常見ge恆等式:

(x+y)^2 = x^2 + 2xy +y^2
(x-y)^2 = x^2 - 2xy +y^2
(x+y)(x-y) = x^2 - y^2

假設你有條問題

( x^2 - y^2 ) / (x+y) = ???

你會見到上下好似無公因數, 無得約簡wo
但係只要你用恆等式
將上面o個部份變成 (x+y)(x-y)
咁樣咪有個(x+y)可以約lor
咁就得到答案 = x-y

其實恆等式本身唔難
首先你要記(背)熟老師教過ge恆等式
做多d練習
就可以知道點樣靈活運用佢
去將唔同ge算式「變身」
然後解決難題

課題唔深, 但係對日後有重要影響
遲d會有更多ge恆等式要你背ga喇
所以而家一定要打好基本功~~

希望幫到你

有時乘號是省略
例如: (X是乘號)
a乘b
=a X b
=ab
=a(b)
=(a)b
=(a)(b)

首先要明白:
y(c+d)=yc+yd

例如:
一個箱內有3個橙,
有4個箱,共有多少個橙?
答案:
3 X(箱的數目)
=3 X 4
=12個橙

現在,再加多2個箱,這樣有兩種算法:
第1種算法:
3 X(最後箱的數目)
3 X(4+2)
=3 X 6
=18個橙

第2種算法:
(原有的橙的數目)+(後加的橙的數目)
=3 X(原有的箱的數目) + 3 X(後加的箱的數目)
=3 X(4) + 3 X(2)
=12+6
=18個橙

兩種算法的答案都是一樣
也間接說明y(c+d)=yc+yd 是對
在以上的例子
y=3
c=4
d=2
(共有橙的數目)=(共有橙的數目)
3 X(最後箱的數目)= (原有的橙的數目)+(後加的橙的數目)
3 X(最後箱的數目)= 3 X (原有的箱的數目)+ 3 X (後加的箱的數目)
3 X(4+2) =3 X(4) + 3 X(2)
y X(c+d) =y X(c) + y X(d)
y(c+d)=yc+yd

一個箱內有y個橙,有c個箱,
之後,再加多d個箱
(共有橙的數目)=(共有橙的數目)
y X(最後箱的數目)= (原有的橙的數目)+(後加的橙的數目)
y X(最後箱的數目)=y X (原有的箱的數目)+ y X (後加的箱的數目)
y X(c+d) =y X(c) + y X(d)
y(c+d)=yc+yd

明了y(c+d)=yc+yd 這條式後,
就要明白(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
証明:
(a+b)(c+d)

根據y(c+d)=yc+yd
如果y=(a+b)

(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d
= c(a+b)+d(a+b)………..乘號的前後兩數 可以調轉

根據y(c+d)=yc+yd

= c(a+b)+d(a+b)
=ca+cb+da+db
=ac+bc+ad+bd………..乘號的前後兩數 可以調轉
=ac+ad+bc+bd………..加號的前後兩數 可以調轉 (中間兩數調轉)

即是
(a+b)(c+d)
=a(c+d)+ b(c+d)
=ac+ad+bc+bd

所以, (a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd

a^2即是 a的2次方
即是a乘a
即是aa

(a+b)^2
=(a+b)(a+b)

根據(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd

=(a+b)(a+b)
=(a)(a)+(a)(b)+(b)(a)+(b)(b) ………..根據(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd
= aa+ab+ba+bb
= aa+ab+ab+bb
= aa+2ab+bb………..同類項可以相加
= a^2+2ab+b^2……….. 根據次方的定義
所以(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2
=(a-b)(a-b)
= (a)(a)+(a)(-b)+(-b)(a)+(-b)(-b)………..根據(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd
= aa-ab-ab+bb………..負負得正 (-b)(-b) =+bb
= aa-2ab+bb………..同類項可以相減
=a^2-2ab+b^2……….. 根據次方的定義
所以(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a+b)(a-b)
= (a)(a)+(a)(-b)+(b)(a)+(b)(-b)………..根據(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd
= aa-ab+ab-bb
= aa-bb……….. -ab+ab=ab-ab=0
=a^2-b^2……….. 根據次方的定義
所以(a+b)(a-b) = a^2-b^2

所以
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)(a-b) = a^2-b^2

恒等式只係一d公式左邊同右邊永遠相等
即6x + 4 = 2(3x + 2)
無論你將x代任何實數左手邊個答案同右手邊個答案都係一樣
咁就為之恒等式

題目既其中一種出法就係叫你證明某公式係/唔係恒等式
e.g.
Determine whether the following equations are the identity.
(a) (x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2
(b) (x + 5)^2 = x^2 + 25

(a) LHS
= (x + 1)(x + 2)
= x^2 + 2x + x + 2
= x^2 + 3x + 2
= RHS
∴ (x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2 is an identity
(b) LHS
= (x + 5)^2
= x^2 + 10x + 25　　　[by (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2]
　RHS
= x^2 + 25
∵ LHS =/= RHS
∴(x + 5)^2 = x^2 + 25 is not an identity

而另一種就係一堆要你背既公式
要你去 expand 或 factorize 一 d polynomial.
e.g. Factorize x^2 + 14xy + 49y^2
　x^2 + 14xy + 49y^2
= x^2 + 2(x)(7y) + (7y)^2
= (x + 7y)^2
e.g. Expand (a^2 - 3b)^2
　(a^2 - 3b)^2
= (a^2)^2 - 2(a^2)(3b) + (3b)^2
= a^4 - 6a^2b + 9b^2

恆等式主要目的係將一d本來全等ge野再強調一次,更清楚

中學最常用ge恆等式有以下:

(a+b)^2≡a^2+2ab+b^2---------------(1)

(a-b)^2≡a^2-2ab+b^2-----------------(2)

(a+b)(a-b)≡a^2-b^2--------------------(3)

a^3+b^3≡(a+b)(a^2-ab+b^2)--------(4)

a^3-b^3≡(a-b)(a^2+ab+b^2)---------(5)

sinθ≡cos(90°-θ)-------------------------(6)

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1--------------------(7)

1+(tanθ)^2=(secθ)^2-------------------(8)

1+(cotθ)^2=(cosecθ)^2----------------(9)


証明ge話,可以略略講講,(1),(2)

(a+b)^2

=(a+b)(a+b)

=a^2+ab+ab+b^2

=a^2+2ab+b^2

咁(2)同上差5多

(3)式只不過係一d簡單運算

(a+b)(a-b)

=a^2-ab+ab-b^2

=a^2-b^2

(4)同(5)會少用d

(a+b)(a^2-ab+b^2)

=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3

=a^3+b^3

(5)式証明都係咁

至於(6)-(9)

到你學到三角學同幾何學會好詳細咁解釋,個幾條式書入邊會詳解

ps.遇上5學就直接d問老師,希望幫到你啦:)