圓,橢圓，拋物線，雙曲線的定義

圓

圓是一種幾何圖形。當一條線段繞着它的一個端點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓。根據定義，通常用圓規來畫圓。




橢圓

橢圓是到平面上兩定點距離之和為一定值的點的集合。

在座標平面上給定兩點 F1 和 F2 ，如果有一個以F1 和 F2 為兩焦點的橢圓，那麼所有在橢圓上的點 P，都會滿足 P 到兩焦點距離的和恆為一定值的這個條件：

| PF1 | + | PF2 | = 定值

也就是說，所有的點 P 構成的集合，在座標平面上的圖形就是一個橢圓。

經由這個定義，我們可以很輕鬆的畫出一個橢圓。先準備一條線，將這條線的兩端綁各綁在一點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點），接著拿起一支筆，從線的一端往另一端移動使線繃緊，到極限為止，這時候兩個點和筆就會形成一個三角形，然後拉著線開始作圖，持續的使線繃緊，最後就可以完成一個橢圓的圖形了。

定義
如果在一個平面內一個動點到兩個定點的距離的和等於定長，那麼這個動點的軌跡叫做橢圓。
假設（注意所有假設只是為了導出橢圓方程時比較簡便）動點為P(x,y)，兩個定點為F1( − c,0)和F2(c,0)，
則根據定義，動點P的軌跡方程滿足（定義式）： | PF1 | + | PF2 | = 2a(a > 0)，其中2a為定長。
整理上式，並化簡，得：
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2) ①
當a > c時，並設a2 − c2 = b2，則①式可以進一步化簡：
b2x2 + a2y2 = a2b2 ②
橢圓的圖像如果在直角坐標系中表示，那麼上述定義中兩個定點被定義在了x軸。
在方程中，所設的2a稱為長軸長，2b稱為短軸長，而所設的定點稱為焦點，那麼2c稱為焦距。在假設的過程中，假設了a > c，如果不這樣假設，會發現得不到橢圓。當a = c時，這個動點的軌跡是一個圓；當a < c時，根本得不到實際存在的軌跡，而這時，其軌跡稱為虛橢圓。另外還要注意，在假設中，還有一處：a2 − c2 = b2。
通常認為圓是橢圓的一種特殊情況。





拋物線

拋物線是平面內到一定點和到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌跡。這一定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。
拋物線是一種圓錐曲線。

術語
準線、焦點：見上。
軸：拋物線是軸對稱圖形，它的對稱軸簡稱軸。
頂點：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點。
弦：拋物線的弦是連接拋物線上任意兩點的線段。
焦弦：拋物線的焦弦是經過拋物線焦點的弦。正焦弦：拋物線的正焦弦是垂直於軸的焦弦。
直徑：拋物線的直徑是拋物線一組平行弦中點的軌跡。這條直徑也叫這組平行弦的共軛直徑。
主要直徑：拋物線的主要直徑是拋物線的軸。

在解析幾何中
拋物線的標準方程有四個：
y^2=2px \quad \left (p>0 \right)（開口向右）；
y^2=-2px \quad \left (p>0 \right)（開口向左）；
x^2=2py \quad \left (p>0 \right)（開口向上）；
x^2=-2py \quad \left (p>0 \right)（開口向下）；
* 在拋物線y^2=2px \quad \left (p>0 \right)中，焦點是F \left (\frac{p}{2},0 \right)，準線l的方程是x=-\frac{p}{2}；
* 在拋物線y^2=-2px \quad \left (p>0 \right)中，焦點是F \left (-\frac{p}{2},0 \right)，準線l的方程是x=\frac{p}{2}；
* 在拋物線x^2=2py \quad \left (p>0 \right)中，焦點是F \left (0,\frac{p}{2} \right)，準線l的方程是y=\frac{p}{2}；
* 在拋物線y^2=2px \quad \left (p>0 \right)中，焦點是F \left (0,-\frac{p}{2} \right)，準線l的方程是y=-\frac{p}{2}；

拋物線y2 = 2px的性質
1. 截距：拋物線在x軸和y軸上的截距都是0，也就是說，拋物線經過坐標原點，這個點是拋物線的頂點。
2. 對稱性：拋物線關於x軸對稱。
3. 範圍：因為y=\pm \sqrt{2px} \quad \left(p>0 \right)，所以當x ≥ 0時，y才有實數值。又因為x=\frac{y^2}{2p}，所以y可取任何實數值。當x增大時，y的絕對值也隨之增大，因此該拋物線在y軸的右側向上、向下無限伸展。
4. 離心率：拋物線上一點到焦點的距離與這一點到準線的距離的比叫做拋物線的離心率。拋物線的離心率等於1。

拋物線y2 = 2px的切線方程
1. 經過拋物線y2 = 2px上一點P \left(x_1,y_1 \right)的切線方程是y1y = p(x + x1)。例如，y2 = 4x經過點\left (1,2 \right)的切線方程是2y=4 \cdot \frac{x+1}{2}，即x - y + 1 = 0。
2. 已知拋物線y2 = 2px的切線的斜率是k，那麼它的切線方程是y=kx+\frac{p}{2k}。





雙曲線

雙曲線是平面內，到兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數的點的軌跡。F1、F2被稱作雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離|F1F2|叫做焦距。

以下是平面直角坐標系下的雙曲線標準方程：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

圓：圓周定两点A和B，固定某比例R，所有符合条件AC/BC=R的点C组成一个圆
椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
数学上的抛物线,就是同一平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离相等的点的集合 ；
二次方程所表示的图象就是抛物线（包括x的二次方程和y的二次方程）；

双曲線：到2定点距离差的绝对值等于定长小于定点距离的点的轨迹
　　　　如果平面上一动点到定点的距离与到一定直线的距离之比是一个大于1的常数(定点不在定直线上）,那么该动点的轨迹就是双曲线