整數集, 等價關係

圖片參考：http://space.uwants.com/attachments/2006/12/31/187499_200612312044375.jpg

(a)
(i)
m+2m=3m 可被3整除 (自反性)
若mRn成立
即m+2n 可被3整除
令m+2n =3k
m=3k-2n
n+2m
=n+2(3k-2n)
=6k-3n
可被3整除
所以nRm成立 (互反性)
(iii)
若mRn成立, nRp 成立
則
m+2n 可被3整除
令m+2n =3k
m=3k-2n
n+2p 可被3整除
令n+2p=3l
2p=3l-n
m+2p
=3k-2n+3l-n
=3(k+l-n)
可被3整除
所以mRp 成立 (傳遞性)
因此R 是一個等價關係
(b)
對應的分割是
R\~={[0],[1],[2]}
[0]=3k={0,3,6,9,...}
[1]=3k+1={1,4,7,10...}
[2]=3k+2={2,5,8,11...}


2007-01-06 00:04:12 補充：
k 可以是負數如[0]=3k={-3,0,3,6,9,...}