集, 對稱差集

圖片參考：http://space.uwants.com/attachments/2006/12/31/187499_200612312045172.jpg

(a)(i)
若x∈(A∩C)\(B∩C)
則
x∈(A∩C) 且 x
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/692614f72e231db0d2313050ac29e113.png
(B∩C)
所以
x∈A, x∈C , x
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/692614f72e231db0d2313050ac29e113.png
B
即
x∈(A\B)∩C
(A∩C)\(B∩C)⊆(A\B)∩C
反之
若
x∈(A\B)∩C
則 x∈(A\B) 且 x∈C
x∈A, x∈C , x
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/692614f72e231db0d2313050ac29e113.png
B
x∈(A∩C) 且 x
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/692614f72e231db0d2313050ac29e113.png
(B∩C)
即 x∈(A∩C)\(B∩C)
(A\B)∩C⊆(A∩C)\(B∩C)
綜合得(A∩C)\(B∩C)=(A\B)∩C
(ii)
若x∈(A\C)∩(B\C)
則
x∈(A\C) 且 x∈(B\C)
所以
x∈A, x∈B, x
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/692614f72e231db0d2313050ac29e113.png
C
即
x∈(A∩B)\C
(A\C)∩(B\C)⊆(A∩B)\C
反之
若
x∈(A∩B)\C
則
x∈(A∩B) 且 x
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/692614f72e231db0d2313050ac29e113.png
C
x∈A, x∈B, x
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/9/2/692614f72e231db0d2313050ac29e113.png
C
所以
x∈(A\C) 且 x∈(B\C)
即x∈(A\C)∩(B\C)
(A∩B)\C⊆(A\C)∩(B\C)
綜合得(A\C)∩(B\C)=(A∩B)\C
(b)

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/23/Sym_complement.png



圖片參考：http://en.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
Venn diagram of A Δ B. The symmetric difference is in solid green.

(XΔY)'=X'ΔY' 是不成立的

事實上

(XΔY)' 就是上圖中的空白部分

而

X'ΔY'

=(X'\Y')∪(Y'\X')

=(Y\X)∪(X\Y)

=XΔY

=上圖中的綠色部份

所以它們是互補而不是相等