polynomial

我嘗試過這一條問題, 坦白說我能力有限, 未能完全解決它。
但是樓上的答案很明顯是錯的。

題目的要求是證明如果有double root, 那下面的條件a^(2/3)+b^(2/3)=2^(2/3) 就成立。

但你做的只是找出一個例子下面成立了, 上面卻沒有成立, 這樣的說法甚麼也證明不了。

例如題目要你證明所有爸爸都是男人, 你做的只是找了一個沒有成家的男人, 說他不是爸爸, 很明顯地, 你這樣甚麼都證明不了。

我的嘗試如下, 很明顯這也是未完成的工作, 如果可以的話, 請有心人努力完成。

觀察一) double root 不可能是0, 否則不可能 product of root = -1, 設double root = -r =/= 0

假設f(x) = x^4-(a+b)x^3+(a-b)x-1= (x + r)(x + r)(x^2 + px + q)

留意q = -1/r^2, 但為了方便, 先不管。

計cubic term = p + 2r = - a - b
計quadratic term = r^2 + 2pr + q = 0
計linear term = pr^2 + 2qr = a - b

Quadratic term 代 q 可以得出

r^2 + 2pr - 1/r^2 = 0
r^4 + 2pr^3 - 1 = 0

另外

a = (pr^2 + 2qr - p - 2r) / 2 = (pr^2 - 2/r - p - r) / 2
b = (p + 2r + pr^2 + 2qr)/-2 = (p + 2r + pr^2 - 2/r)/-2

利用Quadratic term的等式

a
= (pr^2 - 2/r - p - r) / 2
= (pr^3 - 2 - pr - r^2) / 2r
= ((1-r^4)/2 - 2 - pr - r^2) / 2r
= (1 - r^4 - 4 - 2pr - 2r^2) / 4r
= (-r^4 - 2r^2 - 2pr - 3) / 4r
= (-r^4 - 2r^2 - (1-r^4)/r^2 - 3) / 4r
= (-r^6 - 2r^4 - (1-r^4) - 3r^2) / 4r^3
= (-r^6 - 2r^4 - 1 + r^4 - 3r^2) / 4r^3
= (-r^6 - r^4 - 1 - 3r^2) / 4r^3

b
= (p + 2r + pr^2 - 2/r)/-2
= (2 - pr - 2r^2 - pr^3)/2r
= (2 - pr - 2r^2 - (1-r^4)/2)/2r
= (4 - 2pr - 4r^2 - 1 + r^4)/4r
= (3 - 2pr - 4r^2 + r^4)/4r
= (3 - (1-r^4)/r^2 - 4r^2 + r^4)/4r
= (3r^2 - 1 + r^4 - 4r^4 - r^2 + r^6)/4r^3
= (2r^2 - 1 + 3r^4 + r^6)/4r^3

感覺上a 和 b 的公式很像perfect cube, 如果只是問題打錯, 請修正
如果真的是perfect cube, 那就可以直接verify 命題了。

2007-01-08 01:28:06 補充：
計b 的尾二行打錯了不是= (3r^2 - 1 r^4 - 4r^4 - r^2 r^6)/4r^3是= (3r^2 - 1 r^4 - 4r^4 r^6)/4r^3= (3r^2 - 1 - 3r^4 r^6)/4r^3= (r^2 - 1)^3 / 4r^3

2007-01-08 01:28:28 補充：
原來a = (pr^2 2qr - p - 2r) / 2 = (pr^2 - 2/r - p - r) / 2 也是錯的a應該是(pr^2 - 2/r - p - 2r) / 2最後可砌出a = = -(r^2 1)^3/4r^3有perfect cube就好辦...

2007-01-08 01:29:27 補充：
你肯定是a^(2/3) b^(2/3) 嗎? 如果是a^(2/3) - b^(2/3)= (-(r^2 1)/4^(1/3)r)^2 - ((r^2 - 1)/4^(1/3)r)^2= [(r^2 1)^2 - (r^2 - 1)^2]/4^(2/3)r^2= [(r^4 2r^2 1) - (r^4 - 2r^2 1)]/4^(2/3)r^2= [4r^2]/4^(2/3)r^2= 4^(1/3)= 2^(2/3)這就完成了。

2007-01-16 07:01:31 補充：
謝謝貓朋。

精彩!! 朋友您有做研究的小心和毅力。