為什麼要和『數學期望』打交道？

又稱期望或均值﹐是隨機變量按概率的加權平均﹐表徵其概率分布的中心位置。數學期望是概率論早期發展中就已產生的一個概念。當時研究的概率問題大多與賭博有關。假如某人在一局賭博中面臨如下的情況﹕在總共＋種等可能出現的結果中﹐有種結果可贏得a﹐其餘種結果可贏得﹐則就是他在該局賭博中所能期望的收入。數學期望的這種初始形式早在1657年即由荷蘭數學家C.惠更斯明確提出。它是簡單算術平均的一種推廣。
設為離散型隨機變量﹐它取值x0﹐x1﹐…的概率分別為1﹐2﹐…﹐則當級數時﹐定義它的期望為。這裡之所以要求級數絕對收斂﹐是因為作為期望的這種平均﹐不應當依賴於求和的次序。若 為連續型隨機變量﹐其密度函數為(x)﹐則當積分時﹐定義它的期望為。在一般場合﹐設是概率空間(﹐﹐)上的隨機變量﹐其分布函數為(x)﹐則當時﹐定義的期望為

式中是斯蒂爾傑斯積分﹔或是隨機變量 在上對概率測度的積分。然而﹐並非所有的隨機變量都具有期望。
隨機變量的期望﹐有下列性質﹕E(＋)=E＋E﹔若把常數a看作隨機變量﹐則Ea=a﹔若≧0﹐則E≧0﹔若與獨立﹐則E(XY )＝EE﹔若隨機變量1﹐2﹐…﹐有聯合分布函數(x1﹐x2﹐…﹐x)﹐則對一類元函數(x1﹐x2﹐…﹐x)(稱為可積的元波萊爾可測函數﹐它包括所有可積的初等函數和連續函數)﹐有

若＝＋i為復隨機變量﹐則定義其數學期望為E=E＋iE。
上述數學期望的概念也可推廣至隨機向量的情形。一個隨機向量的數學期望EX定義為以其各份量的數學期望為份量的向量﹐即﹐也稱為X的均值向量。它也具有一般期望所具有的類似性質。