quadratic inequalities

這個問題有兩個方法做。

第一個方法比較麻煩但可以令你明白做 Inequalities 的正確步驟。

(x+1)(x+7)>0

兩樣東西乘起來大於 0，所以有兩個可能性。
第一個是，兩個都大於 0 。
第二個是，兩個都小於 0 。

=> (x+1)>0 AND (x+7)>0 OR (x+1)<0 AND (x+7)<0
=> x>-1 AND x>-7 OR x<-1 AND x<-7
=> x>-1 OR x<-7

你這條問題的答案剛好兩個可能性到最後都保存下來。
但若問題一開始是小於而不是大於，那麼其中一個可能性最終會因為不可能成立而被剔除。

(x+1)(x+7)<0

兩樣東西乘起來小於 0，所以有兩個可能性。
第一個是，一個大於 0，另一個小於 0 。
第二個是，一個小於 0，另一個大於 0 。

=> (x+1)>0 AND (x+7)<0 OR (x+1)<0 AND (x+7)>0
=> x>-1 AND x<-7 (Impossible. Rejected) OR x<-1 AND x>-7
=> -7<-1


第二個方法明白後就會非常簡單，但你要先知道一些 Quadratic Equation 的特性。用純文字解釋不容易明白，若有不明處，就回頭多看一兩次好了。

一條 Quadratic equation

y=Ax^2+Bx+C

它的 Graph 一定是 U 形 (若 A 是正數) 或倒轉 U 形 (若 A 是負數)。
先說 U 形 (若 A 是正數) 。
如果這條 Quadratic Equation 是有 Root(s) 的話，U 形與 X-Axis 的交點 (一個或兩個) 就是 Root(s) 。
假設它有兩個 Roots ，那麼這個 U 形就會被 X-Axis 從中間上下分開一半。
下半部 (夾在兩個 Roots 中間) 是 y < 0 的部分，而上半部 (飛出去兩個 Roots 以外) 則是 y > 0 的部分。文字講解很累贅，你可以畫一個 U 形及一條穿過它的 X-Axis 來看看會比較容易明白。

所以，若問題裏的 Quadratic Equation 是問 y < 0 ，那麼符合條件的就是「夾響中間」的那段 (e.g. 1<2)；相反，若問題問的是 y > 0 ，那麼答案就是「飛出去」(e.g. x<1 or x>2)。
要注意一點是若 A 是負數， Graph 會是倒轉 U 形，所以「夾響中間」同「飛出去」就要調轉，即 y < 0 =>「飛出去」；y > 0 =>「夾響中間」。

明白了這個定律之後，以後看到 Quadratic Equation 的 Inequalities 問題時，只要看 A 是正數或負數及問題問的是 y > 0 或 y < 0 ，不會再畫圖就可以判斷答案。

以你的問題為例，步驟會是這樣的：

1)
x²+8x+7>0 中的 A 是正 1 ，所以 Graph 是 U 形。

2)
做到 (x+1)(x+7)>0 時，你知道 -1 同 -7 是那兩 Roots

3)
問題問的是 y > 0 ，所以你知道答案是「飛出去」，亦即是 x<-7 or x>-1。

記得，若 A 是負數，答案的判斷就要反轉。
這方法是我學校裏一位很好的數學老師教的，「夾響中間」及「飛出去」亦是他當時用的詞語。

其實你可以咁樣睇
y=x^2+8x+12>5
y=(x+1)(x+7)>0

再ｓｋｅｔｃｈ　幅ｇｒａｐｈ　出黎
個ｇｒａｐｈ　應該係ｕ　形
符合ｙ＞０，即ｘ－ａｘｉｓ上面個忽就係答案

2007-01-03 21:36:54 補充：
樓下個位你咁教其實有d誤導y 0 = 飛出去但係遲下去到absolute value/x^3 with double roots　等等既又點分呢??我自己就冇特登走去搵"定律"