教我做數學(十分)

第一題)
首先, 為方便起見, 我會假設 x 為那個 4 位數, 而 y 為那個 5 位數. 然後:
x_1 = x 的千位數, x_2 = x 的百位數, 餘此類推.
y_1 = y 的萬位數, y_2 = y 的千位數, 餘此類推.

推論如下:
1) x_1 不可能為 1 或 2, 因為 2999 x 3 = 8997 < 10000, 所以以 1 或 2 開頭的千位數乘 3 後不可能是 5 位數.
2) x_1 不可能為 7 或以上, 因為 x_3 = x_1, x_2 和 x_4 之中任何兩個之和. 若此三個數為 5,6,7 或以上, 則最小的兩個數相加後已超過 10, 而 x_3 不可能超過 10.
3) 若 x_1 為 6, 則 x_2 和 x_3 必須為 4 和 5 (不分次序), 因為 x_3 不可能超過 10. 若 x_2 為 5, 則 x 乘 3 以後仍小於 20000 (6599 x 3 = 19797). 所以由此可以肯定 y_1 = 1.
4) 換言之, y_3 和 y_5 將會是 0 和 2 (不分次序).
5) 若 y_5 是 0, 則 x_4 必須為 0, 即不可能, 因為會出現兩個零.
7) 所以 y_5 必須為 2, 然後 y_3 必須為 0.
8) 再推出 x_4 必須為 4, 因為只有個位數為 4 的可以乘 3 後的積之個位數是 2.
9) 所以, x_1 和 x_2 必須為 5 和 6 (不分次序), 因為 3 已用.
10) 再推出 x_3 = 9, 因為 4,5,6 之中只有 4+5 = 9 可以不超過 10.
11) 最後 y_2 和 y_4 為 7 和 8 (不分次序).

故此, x 可能是 5694 或 6594 和 y 可能是 17082 或 18072.
對算後, 只有 5694 x 3 = 17082
所以四位數為 5694, 而五位數則為 17082.

第二題)
設 AB = x 和 AC = y
首先, 以 AB 為直徑的半圓之面積 = (兀/2)(x/2)^2 = (兀/8)x^2
同樣地, 以 AC 為直徑的半圓之面積 = (兀/2)(y/2)^2 = (兀/8)y^2

根據畢氏定理, BC^2 = x^2 + y^2.

所以, 以 BC 為直徑的半圓之面積 = (兀/2)(BC/2)^2 = (兀/8)BC^2 = (兀/8)(x^2 + y^2)
而在以 BC 為直徑的半圓內的兩個弓形 (segment) 面積之總和為 (兀/8)(x^2 + y^2) - 12 (半圓面積減 三角ABC 面積)

所以 cresent (陰影部分) 之面積為:
以 AB 為直徑的半圓之面積 + 以 AC 為直徑的半圓之面積 - 以 BC 為直徑的半圓內的兩個弓形 (segment) 面積之總和
= (兀/8)x^2 + (兀/8)y^2 - [(兀/8)(x^2 + y^2) - 12]
= 12 平方單位