數學問題4

圖片參考：http://space.uwants.com/attachments/2006/12/31/187499_200612312044374.jpg

(a)

[(p→q)→q]→(p V q)

<==> [(~p V q) → q] → (p V q) 【根據恆等關係 a→b = ~a V b】

<==> [~(~p V q) V q] → (p V q) 【根據恆等關係 a→b = ~a V b】

<==> [[~(~p) ^ ~q] V q] → (p V q) 【根據恆等關係 ~(a V b) = ~a ^ ~b】

<==> [(p ^ ~q) V q] → (p V q) 【根據恆等關係 ~(~a) = a】

<==> [(p V q) ^ (q V ~q)] → (p V q) 【根據恆等關係 (a ^ b) V c = (a V c) ^ (b V c)】

<==> [(p V q) ^ (T)] → (p V q) 【根據恆等關係 ~a V a = T】

<==> (p V q) → (p V q) 【根據恆等關係 a ^ T = a】

<==> ~(p V q) V (p V q) 【根據恆等關係 ~(a V b) = ~a ^ ~b】

<==> T

所以為恆真命題。



===============================================

(b)

(p V q) ^ (p V ~q)

<==> [p ^ (p V ~q)] V [q ^ (p V ~q)] 【根據恆等關係 (a ^ b) V c = (a V c) ^ (b V c)】

<==> [p ^ (p V ~q)] V [(p ^ q) V (q ^ ~q)] 【根據恆等關係 (a V b) ^ c = (a ^ c) V (b ^ c)】

<==> [p V (p ^ ~q)] V [(p ^ q) V (F)] 【根據恆等關係 ~a ^ a = F】

<==> [p V (p ^ ~q)] V [(p ^ q) V (F)]

<==> [p V (p ^ ~q)] V (p ^ q) 【根據恆等關係 a V F = a】

<==> p V (p ^ ~q) V (p ^ q)

<==> p V [p ^ (~q V q)] 【根據恆等關係 (a V b) ^ c = (a ^ c) V (b ^ c)】

<==> p V [p ^ (T)] 【根據恆等關係 ~a V a = T】

<==> p V p 【根據恆等關係 a ^ T = a】

<==> p

所以標題與 p 同價。