數學4題....help

(1)
求y=2(x+3)(x-5)的圖像的頂點坐標

y = 2(x+3)(x-5)

方法一：用二次方程特性

因為二次方程是左右對稱，已知兩根是 -3 和 5，頂點 x 坐標是 (-3+5)/2 = 1

代 x=1 至方程

y = 2(1+3)(1-5)

y = 2(4)(-4)

y = -32

所以頂點坐標是 (1,-32)

方法二：配方法

y = 2(x+3)(x-5)

y = 2(x² - 2x - 15)

y = 2[(x² - 2x + 1) - 16]

y = 2[(x-1)² - 16]

y = 2(x-1)² - 32

當 x = 1 時，(x-1)² = 0，y 最小，頂點 y = -32。

所以頂點坐標是 (1,-32)

方法三：微分

y = 2(x+3)(x-5)

y = 2(x² - 2x - 15)

y' = d[2(x² - 2x - 15)]/dx

y' = 2(2x - 2)

y' = 4x - 4

當頂點時 y' = 0

4x - 4 = 0

x = 1

代 x=1 至方程

y = 2(1+3)(1-5)

y = 2(4)(-4)

y = -32

所以頂點坐標是 (1,-32)

注：下面其餘的問題都可以用上面三個方法處理，而我只會用其中一種，視乎你的需要你可以自行轉換。

====================================================
(2)
請檢查一下題目，應該是最小值而不是最大值。 ^^

若y=2x²+8x+k的極大值是4,求k的值

y = 2x² + 8x + k

y = 2(x² + 4x) + k

y = 2(x² + 4x + 4) - 8 + k

y = 2(x+2)² + (k-8)

當 x = -2 時，2(x+2)² = 0，y 最小。最小值 = k-8

所以 k-8 = 4

k = 12

====================================================
(3)若將一枚硬幣向上拋,則硬幣在t秒後的高度是h cm,其中h=96t-12t²
(a)求硬幣最初的高度

設 h(t) = 96t - 12t²

最初的時間是 t = 0

代 t = 0 至 h(t)

h(0) = 96(0) - 12(0)^12

h(0) = 0

所以最初的高度是 0 cm。

(b)問硬幣在拋出後達至最高位置需時多久?求硬幣當時離地面5的高度

h(t) = 96t - 12t²

h(t) = -12(t² - 8t)

h(t) = -12(t² - 8t + 16) + 192

h(t) = -12(t-4)² + 192

當 t = 4 時，-12(t-4)² = 0，h(t) 最大。最大值 = h(4)

h(4) = -12(4-4)² + 192

h(4) = 192

所以要 4 秒到達最高點，最高位是 192 cm。

====================================================
(4)
y=f(x)=2x²-5是圖像c,其中p(2,3)是c上的一點
(a)求c向右移2個單位及向下移3個單位,然後沿y軸反射,求p的影像坐標

設新的 x 坐標為 x'
設新的 y 坐標為 y'

x' = x + 2 【因為右移2個單位，然後沿y軸反射，即 y' = -y】 ... (1)
y' = -(y - 3) 【向下移3個單位】... (2)

代 p(2,3) 至 (1), (2)

x' = 2 + 2 = 4
y' = -(3 - 3) = 0

所以p的影像坐標是 (4,0)

(b)若c變換至y=-f(x+5)+10的圖像,求p的影像坐標

設新的 x 坐標為 x'
設新的 y 坐標為 y'

y' = -f(x'+5)+10

y' = -[f'(x'+5)-10] ... (*)

y' = -[f(x)-10] 而 x = x'+5 ... (3)

y' = -[y - 10]

y' = -y + 10

-y = y' - 10

y = 10 - y' ... (4)

代 p(2,3) 至 (3), (4)

2 = x' + 5

x' = -3

3 = 10 - y'

y' = 7

所以p的影像坐標是 (-3, 7)