數學問題2

圖片參考：http://space.uwants.com/attachments/2006/12/31/187499_200612312044372.jpg
(a)

設 x = am ，m 是整數 【因為 x 可被 a 整除】 ... (1)
設 y-x = an，n 是整數 【因為 y-x 可被 a 整除】 ... (2)

y-x = an 【由 (2) 式】
y - am = an 【由 (1) 式】
y = am + an
y = a(m+n)

因為 m 和 n 是整數，m+n 都是整數，所以 y 可被 a 整除。

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(b)

命名 P(n) 是 (3n+1) 7n-1 可被 9 整除，當中 n 是任意正整數。

當n = 1
(3+1)(7)-1
= 27
=9(3)
可被 9 整除，所以 P(1) 成立。

假設 P(k) 成立， (3k+1) 7k-1 = 9m, m 是任意正整數。

當 n = k+1
[3(k+1)+1][7(k+1)]-1
=3(k+1)[(7k)(7)]+[7(k+1)]-1
=(3k+3)[(7k)(7)]+[7(k+1)]-1
=(3k+1)[(7k)(7)]+2[(7k)(7)]+[7(k+1)]-1
=(3k+1)(7k)+6(3k+1)(7k)+2[(7k)(7)]+[7(k+1)]-1
=(3k+1)(7k)-1+6(3k+1)(7k)+3(7)[7k]
=(3k+1)(7k)-1+18k(7k)+[3(7)+6][7k]
=(3k+1)(7k)-1+9(2)k(7k)+(9)(3)[7k]
=9[m+(2)k(7k)+(3)(7k)]
可被 9 整除。所以 P(n+1) 成立。
根據數學歸納法，P(n) 是 (3n+1) 7n-1 可被 9 整除，當中 n 是任意正整數。