3題數學題

我想你打錯少少題目，這看我 highlight 的地方，希望我理解沒錯。

1)
二元二次方程y=a(x-h)²-25/2的圖像的y軸截距是12,圖像的其中一個x軸截距是6
(a)求a和h的值
(b)求圖像的另一個x軸截距

設 L:y=a(x-h)²-25/2

y軸截距是12，所以 L 通過 (0,12)，代 (0,12) 至 L

12 = a(0-h)² - 25/2

12 = ah² - 25/2

24 = 2ah² - 25

2ah² = 49

a = 49/2h²

其中一個x軸截距是6，所以 L 通過 (6,0)，代 (6,0) 至 L

0 = a(6-h)² - 25/2

0 = [49/2h²][36 - 12h + h²] - 25/2

49[36 - 12h + h²] - 25h² = 0

49h² - 588h + 1764 - 25h² = 0

24h² - 588h + 1764 = 0

2h² - 49h + 147 = 0

(h-21)(2h-7) = 0

h = 21 或 h = 7/2

若 h = 21, a = 49/[2(21)²] = 1/18

若 h = 7/2, a = 49/[2(7/2)²] = 2

所以 a = 1/18, h = 21 或 a = 2, h = 7/2

若 h = 21, a = 1/18

若 y = 0

(1/18)(x-21)² - 25/2 = 0

(x-21)² - 225 = 0

x - 42x + 441 - 225 = 0

x - 42x + 216 = 0

(x-6)(x-36) = 0

x = 6 或 x = 36

另一個根是 36。

若 h = 7/2, a = 2

若 y = 0

(2)(x-7/2)² - 25/2 = 0

4(x-7/2)² - 25 = 0

4x - 28x + 49 - 25 = 0

4x - 28x + 24 = 0

x - 7x + 6 = 0

(x-1)(x-6) = 0

x = 1 或 x = 6

另一個根是 1。

所以另一個根是 36 或 1。

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2)二元二次方程y=a(x+4)(x+6),其最高點是(k,5),x軸截距是-4和6
(a)試考慮拋物線的對稱特質,求k的值,再求a的值

考慮拋物線的對稱特質，最高點 x 值是

最高點 x 值

= 兩根之中間

= [-4 + (-6)]/2

= -5

所以 k = 5

代 (5,5) 至方程

5 = a(-5+4)(-5+6)

5 = a(-1)(1)

5 = -a

a = -5

(b)求圖像的y截距

代 x = 0 至方程

y = -5(0+4)(0+6)

y = -5(4)(6)

y = -120

所以y截距是 (0,-120)

(c)若y=px+q的圖像與拋物線交於p(-1,y1)和q(7,y2),
(i)求y1和y2的值

代 (-1,y1) 至方程

y1 = -5(-1+4)(-1+6)

y1 = -5(3)(5)

y1 = -75

代 (7,y2) 至方程

y2 = -5(7+4)(7+6)

y2 = -5(11)(13)

y2 = -715

(ii)求p和q的值

代 (-1,-75) 至 y=px+q

-75 = p(-1) + q

-75 = -p + q

q = p - 75 ... (1)

代 (7,-715) 至 y=px+q

-715 = p(7) + q

-715 = 7p + q

-715 = 7p + (p - 75) 【由 (1)】

8p = -640

p = -80

代 p=-80 至 (1)

q = -80 - 75

q = -155

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3)把聯立方程
y=2x²+4x+3
y=2x+3
改寫成ax²+bx+c=0的形式,並解該聯立方程

由兩條方程

2x² + 4x + 3 = 2x + 3

2x² + 2x = 0

x² + x = 0

x(x+1) = 0

x = 0 或 x+1 = 0

x = 0 或 x = -1