[數學]概率問題

用一個例子說明啦
假定現在擲一粒骰子﹐則樣本空間sample space S 是{1,2,3,4,5,6}
又假設事件A是擲出的骰子是奇數
則對應於事件A的集合是{1,3,5}
complement event of A 是事件A的補集
以事件B表示complement event of A
則對應於事件B的集合是{2,4,6}﹐即擲出的骰子是偶數
union of events 是兩事件的并集
例如對應於union of A and B 的集合是{1,2,3,4,5,6} 即整個樣本空間
intersection of events 是兩事件的交集
若事件C是擲出的骰子是1或3或4﹐則對應於事件C的集合是{1,3,4}
而對應於intersection of A an C 的集合是{1,3}
若對應於兩事件的交集是空集﹐則稱此兩事件是mutually exclusive events (互斥事件)
例如上面事件A,B的交集是空集﹐所以事件A,B是mutually exclusive events
若將對應於各事件的并集等於樣本空間﹐則稱這些事件是collectively exhaustive events (互補事件)
例如事件A,B的并集是整個樣本空間﹐所以事件A,B是collectively exhaustive events
relative frequency approach (概率的頻率方法)
統計機率是建立在頻率理論基礎上的，分別由英國邏輯學家約翰 ( John Venn 1834-1923 ) 和奧地利數學家理察 ( Richard Von Mises 1883-1953 ) 提出，他們認為，獲得一個事件的機率值的唯一方法是通過對該事件進行 100 次，1000 次或者甚至 10000 次的前後相互獨立的 n 次隨機試驗，針對每次試驗均記錄下絕對頻率值和相對頻率值 hn(A)，隨著試驗次數 n 的增加，會出現如下事實，即相對頻率值會趨於穩定，它在一個特定的值上下浮動，也即是說存在著一個極限值 P(A)，相對頻率值趨向於這個極限值。這個極限值被稱為統計機率，表示為：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/e/4/0e4e91591a6c878e1c6c476d7c5277e1.png

例如，若想知道在一次擲骰子的隨機試驗中獲得 6 點的機率值可以對其進行 3000 次前後獨立的扔擲試驗，在每一次試驗後記錄下出現 6 點的次數，然後通過計算相對頻率值可以得到趨向於某一個數的統計機率值。




扔擲數
獲得 6 點的絕對頻率
獲得 6 點的相對頻率

1
1
1.00000

2
1
0.50000

3
1
0.33333

4
1
0.25000

5
2
0.40000

10
2
0.20000

20
5
0.25000

100
12
0.12000

200
39
0.19500

300
46
0.15333

400
72
0.18000

500
76
0.15200

600
102
0.17000

700
120
0.17143

1000
170
0.17000

2000
343
0.17150

3000
560
0.16867
上面提到的這個有關相對頻率的經驗值又被稱為大數定律，是頻率理論學家定義機率論的基礎。然而沒有人可以將骰子無限的扔下去，因此在實踐中也就無法有力的證明大數定律，許多來自數學理論的論證至今也沒有取得成功。儘管如此，統計機率在今天的實踐中具有重要意義，它是數理統計的基礎。
subjective approach (概率的主觀方法)
其實只要附合概率公理﹐我們可以對每一事件指定一概率值
例如擲一枚硬幣10次﹐若正面出現9次﹐反面出現1次
則我們可以令
P(正面)=0.9
P(反面)=0.1