魔方陣(幻方)的歷史

幻方，有时又称魔方，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。通常幻方由从1到N2的连续整数组成，其中N为正方形的行或列的数目。因此N阶幻方有N行N列，并且所填充的数字为从1到N2。
幻方可以使用N阶方阵来表示，矩阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数M2(N)，如果填充数为
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/9/3/293fe678a070641f189afe1b30ed5a3b.png
，那么有


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/1/6/c1613b32735074e14013e5c9f1e5550f.png




[编辑] 幻方简史

[编辑] 洛书
在中国古典文献中记载了洛书的传说：公元前23世纪大禹治水之时，一只巨大的神龟出现于黄河支流洛水中，龟甲上有9种花点的图案，分别代表
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/b/5/1b54cf5ebbd0f4ae88bce85695d6b51b.png
这9个数，而3行、3列以及两对角线上各自的数字之和均为15，世人称之为洛书。中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图，宋朝数学家杨辉把类似于九宫图的图形命名为纵横图。

[编辑] 构造法
有三种幻方存在构造方法：奇数阶幻方、4M阶幻方和4M + 2阶幻方，其中M为自然数，2阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

[编辑] 奇数阶幻方构造法
Siamese方法（Kraitchik 1942年，pp. 148-149）是构造奇数阶幻方的一种方法，说明如下：

把1放置在第一行的中间或者最后一行的中间。
顺序将
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/a/e/0aee7455b66418b4db30b353742efb35.png
等数字放在右上方格中。
当右上方格出界的时候，则由另一边进入。
当右上方格中已经填有数字，则把数字填入正下方的方格中。
按照以上步骤直到填写完所有N2个方格。
（由于幻方的对称性，也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位）
以下图5阶幻方为例，1填写在(1,3)（第一行第三列）的位置上；2应当填写在其右上方格即(0,4)中，由于(0,4)超出顶边界，所以从最底行进入，即(5,4)；3填写在(5,4)的右上方格(4,5)中；4填写在(4,5)的右上方格(3,6)中，由于(3,6)超出右边界，所以从最左列进入，即(3,1)；5填写在(3,1)的右上方格(2,2)中；6应该填写的方格(3,1)已经被1所占据，因此填写在(2,2)的正下方格(3,2)中；按照上面的步骤直到所有数字填入。





圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/b/f/5bfb98b252ee60e1f882f69e02401285.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/9/5/b95673d13dc7fe7e2f89c1343b53ee5a.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/c/e/b/ceb5e94235ae6fa6c4b73ec716521012.png


3阶
5阶
9阶

[编辑] 偶数阶幻方构造法

[编辑] 4M阶幻方构造法
对于4M阶幻方一般都用对调法，制作起来很容易。如4阶幻方的排列法：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/1/a/2/1a241fcc6948c40e1edbca60ac3e1773.png

按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，既成下图：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/1/e/b1e1af656108139a6e8bd49c2cb3f4f7.png


[编辑] 4M + 2阶幻方构造法
对于4M + 2阶幻方，一般采用加边法。以6阶为例子，先排出4阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上8m + 2 = 10，有下图：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/0/3/f031345960be6d8453696a2eb774dbe7.png

在外围加上一圈格子，把
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/5/5/7559e52759b6c28434a46a9b8eb946c4.png
这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于16m(m + 1) + 5。对于m = 1这些数是：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10；27,28,29,30,31,32,33,34,35,36。
结果如下：

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/5/0/05098059535ea0bf1ace2248cca050c7.png

傳說大禹治水時,
有隻隻turtles浮上水,
隻turtles個殼有d點,
d人將d點的數量加埋,
原來d點each邊都係15點!
隻turtles浮上水之後,洪水停了d人就相信它有神秘的力量!

不過,魔方陣(幻方)現在而有多種
e.g.0至8的魔方陣(幻方),雪花魔方陣(幻方)等

所謂魔方陣的變形，就是利用一個已知的魔方陣加以變化，以得出另一個相異魔方陣的方法。
一般人常鑽研魔方陣的各種填製法，而輕忽了魔方陣變形的探討。
魔方陣的填製法非常多，有些人可記住很多填製法，一口氣填製出很多相異的魔方陣，令人讚嘆！
如果你的記性和尤怪一樣並不好，僅能勉強背下一種填製法，又常常忘記，卻對那些記性好的人很吃味， 想和他們較量一番高下，要什麼好辦法呢？
只要修鍊了變形神功後，你就可以隨時向那些魔方陣高手下戰帖了！比賽填製的魔方陣越高階越好， 對方只要一出手，我方可馬上還以十倍的顏色，讓他看得目瞪口呆！反而要向你拜師學藝，爽吧！ 但修鍊變形的神功可要費一番工夫哦，努力吧！
本文介紹的魔方陣變形方法有下列幾種：鋼性變形法、加值變形法、 互補變形法、井字對換變形法、 拓樸變形法及田字變形法。
本文介紹的方法可以適用於所有的魔方陣，如果是對稱魔方陣，那變形的方法就更多了，例如： 行對換變形法、 列對換變形法、 行拓樸變形法、 列拓樸變形法、 十字拓樸變形等