數學會考2005(I)

首先, 因為利息每月一結, 以年利率 6% 計, 月息率應為 6/12 = 0.5%. 因此, 在他還了第一次款後, 他尚欠銀行 200000(1.005) - x

到他第二次準備還款時, 利息又再以上月的結欠月結一次. 此時在他還款之前他的欠款為:
[200000(1.005) - x](1.005)
而在他還款之後, 欠款為:
[200000(1.005) - x](1.005) - x
= 200000(1.005)^2 - (1.005)x - x

同樣地, 到他第三次準備還款時, 利息又再以上月的結欠月結一次. 此時在他還款之前他的欠款為:
[200000(1.005)^2 - (1.005)x - x](1.005)
而在他還款之後, 欠款為:
[200000(1.005)^2 - (1.005)x - x](1.005) - x
= 200000(1.005)^3 - [(1.005)^2]x - (1.005)x - x

如是者, 到他還了 n 次款後若未還清, 則此時結欠為:
= 200000(1.005)^n - [(1.005)^(n-1)]x - [(1.005)^(n-2)]x - .... - (1.005)x - x
= 200000(1.005)^n - {[(1.005)^(n-1)]x + [(1.005)^(n-2)]x + .... + (1.005)x + x}
= 200000(1.005)^n - x[(1.005)^(n-1) + (1.005)^(n-2) + .... + (1.005) + 1]
= 200000(1.005)^n - x[(1.005)^n-1]/(1.005-1) *
= 200000(1.005)^n - x[(1.005)^n-1]/0.005
= 200000(1.005)^n - 200x[(1.005)^n-1]

*註: x^(n-1) + x^(n-2) + .... + x + 1 = (x^n-1)/(x-1), 將 x 代為 1.005 即可.

(a)
(i)
200000*(0.06/12)=1000
(ii)
文俊還了x元
他尚欠該銀行的錢
=200000+(1000-x)
(iii)
第一個月的本利和
=200000*(1.005)=1000
到第二個月
本利和
=[200000*(1.005)-200x(1.005-1)]*1.005
=[200000*(1.005)^2-200x(1.005-1)*1.005]
他還了x元
他尚欠該銀行的錢
=[200000*(1.005)^2-200x(1.005-1)*1.005-x]
=[200000*(1.005)^2-200x(1.005^2)-200x*1.005-x]
=[200000*(1.005)^2-200x(1.005^2)-200x]
=[200000*(1.005)^2-200x(1.005^2-1)]

到第三個月
本利和
=[200000*(1.005)-200x(1.005^2-1)]*1.005
=[200000*(1.005)^3-200x(1.005^2-1)*1.005]
他還了x元
他尚欠該銀行的錢
=[200000*(1.005)^3-200x(1.005^2-1)*1.005-x]
=[200000*(1.005)^3-200x(1.005^3)-200x*1.005-x]
=[200000*(1.005)^3-200x(1.005^3)-200x]
=[200000*(1.005)^3-200x(1.005^3-1)]
餘此類推
到第n個月
他尚欠該銀行的錢
=[200000*(1.005)^n-200x(1.005^n-1)]



2006-12-25 20:53:46 補充：
要砌到條式既關鍵是[200000*(1.005)-x]=[200000*(1.005)-200x(1.005-1)]