急!!!!!! A-maths~

1. 設α、β為方程 x²+px+q=0的根，且α+3、β+3為方程 x²+qx+p=0的根。求p、q的值。

解答：
因為α、β是方程 x²+px+q=0的根，
α+β=-p/1=-p ------(1)
αβ=q/1=q ------(2)

另外， 因為α+3、β+3是方程 x²+qx+p=0的根，
(α+3)+(β+3)=-q/1=-q → α+β+6=-q ------(3)
(α+3)(β+3)=p/1=p → αβ+3α+3β+9=p → αβ+3(α+β)+9=p ------(4)

將(1)代為(3)，
-p+6=-q
p-q=6 ------(5)

將(1)及(2)代入(4)，
q+3(-p)+9=p
4p-q=9 ------(6)

(6) - (5)，
3p=3
p=1
代入(5)，1-q=6，q=-5


(2)
問題：
α、β為二次方程x²-(k+2)x+k=0的根。
(a) 以k表示α+β及αβ。
(b) 若(α+1)(β+2)=4，證明 α=-2k。並由此求k的兩值。

解答：
(a)
α+β=-[-(k+2)]/1
α+β=k+2 ------(1)

αβ=k/1
αβ=k ------(2)

(b)
若(α+1)(β+2)=4，
αβ+2α+β+2=4
αβ+(α+β)+α=2
k+(k+2)+α=2【從(1)及(2)】
α=-2k

代入(1)，
-2k+β=k+2
β=3k+2

將α=-2k及β=3k+2代入(2)，
(-2k)(3k+2)=k
-6k²-4k=k
6k²+5k=0
k(6k+5)=0
k=0 或 k=-5/6


(3)
問題：
方程x²+4x+p=0(其中p為實常數)有不等實根 α、β
(a) 求p值的範圍。
(b) 若α²+β²+α²β²+3(α+β)-19=0，求p。

解答：
(a)
由於方程式有不等實根，Δ>0
4²-4p>0
p<4


(b)
α²+β²+α²β²+3(α+β)-19=0
α²+2αβ+β²-2αβ+(αβ)²+3(α+β)-19=0
(α+β)²-2αβ+(αβ)²+3(α+β)-19=0
(-4/1)²-2(p/1)+(p/1)²+3(-4/1)-19=0
16-2p+p²-12-19=0
p²-2p-15=0
(p-5)(p+3)=0
p=5(捨去，因為p<4) 或 p=-3


(4)
問題：
α、β為二次方程x²+(p-2)x+p=0的根，其中p為實數。
(a) 以p表示α+β和αβ。
(b) 若 α及β為實且α²+β²=11，求p。

解答：
(a)
α+β=-(p-2)/1
α+β=-(p-2)

αβ=p/1
αβ=p

(b)
由於方程有實根，Δ≧0
(p-2)²-4(1)(p)≧0
p²-4p+4-4p≧0
p²-8p+4≧0
p²-8p+16-12≧0
(p-4)²-12≧0
(p-4-√12)(p-4+√12)≧0
(p-4-2√3)(p-4+2√3)≧0
p≧4+2√3 或 p≦4-2√3
p≧7.4641 或 p≦0.5359 ------(*)

α²+β²=11
α²+2αβ+β²-2αβ=11
( α+β)²-2αβ=11
[-(p-2)]²-2p=11
p²-4p+4-2p=11
p²-6p-7=0
(p-7)(p+1)=0
p=7 (捨去，因為p不滿足(*)) 或 p=-1


(5)
問題：
二次方程x²(log a)+(x+1)(log b)=0(其中a、b為常數)有非零等根。以a表示b。

解答：
x²(log a)+(x+1)(log b)=0
x²(log a)+x(log b)+(log b)=0
由於方程式有等根，Δ=0
(log b)²-4(log a)(log b)=0
(log b)(log b - 4log a)=0
log b=0 或 log b = 4 log a

如果 log b=0的話，原方程變為x²(log a)=0，使得x=0(等根)，但題目規定等根不是0，所以log b≠0。即log b = 4 log a

log b = 4 log a
log b = log a4
b=a4


(6)
問題：
α、β是方程x²+(k-2)x-(k-1)=0的實根。若|α|=|β|，求k。

解答：
α+β=-(k-2)/1
α+β=-k+2 ------(1)

αβ=-(k-1)/1
αβ=-k+1 ------(2)

因為|α|=|β|，即α=β或α=-β。

如果α=β，由(1)，
2α=-k+2
α=-k/2 +1 ------(3)
由(2)，
α²=-k+1 ------(4)
將(3)代入(4)，
(-k/2 +1)²=-k+1
k²/4 -k+1=-k+1
k²/4=0
k=0

如果α=-β，由(1)，
0=-k+2
k=2


(7)
問題：
二次方程x²-6x+2k=0和x²-5x+k=0有一個公共根α。證明α=k，並由此求k。

解答：
由於α是x²-6x+2k=0的根，
α²-6α+2k=0 ------(1)
由於α是x²-5x+k=0的根，
α²-5α+k=0 ------(2)

(2) - (1)：
α²-5α+k-(α²-6α+2k)=0
α-k=0
α=k

將α=k代入(1)，
k²-6k+2k=0
k²-4k=0
k(k-4)=0
k=0 或 k=4


(8)
問題：
α、β為二次方程x²-2x+7=0的根。求以α+2和β+2為根的二次方程。

解答：
α+β=-(-2)/1=2
αβ=7/1=7

(α+2)+(β+2)=α+β+4=2+4=6
(α+2)(β+2)=αβ+2α+2β+4=αβ+2(α+β)+4=7+2(2)+4=15

所以，有α+2和β+2為根的二次方程是
x²-6x+15=0


(9)
問題：
解|x-2|=|x²-4|

解答：
|x-2|=|x²-4|=|(x-2)(x+2)|=|x-2||x+2|
|x-2|(1-|x+2|)=0
|x-2|=0 或 |x+2|=1
x-2=0 或 x+2=±1
x=2 或 x=-1 或 x=-3


(10)
問題：
解|x-3|=|x²-4x+3|

解答：
|x-3|=|x²-4x+3|=|(x-3)(x-1)|=|x-3||x-1|
|x-3|(1-|x-1|)=0
|x-3|=0 或 |x-1|=1
x-3=0 或 x-1=±1
x=3 或 x=2 或 x=0


(11)
問題：
解(x-2)²-5|x-2|-6=0

解答：
(x-2)²-5|x-2|-6=0
|x-2|²-5|x-2|-6=0
(|x-2|-6)(|x-2|+1)=0
|x-2|=6 或 |x-2|=-1 (捨去，因為|x-2|≧0)
x-2=±6
x=8 或 x=-4


(12)
問題：
解(x-3)²-|x-3|-12=0

解答：
(x-3)²-|x-3|-12=0
|x-3|²-|x-3|-12=0
(|x-3|-4)(|x-3|+3)=0
|x-3|=4 或 |x-3|=-3 (捨去，因為|x-3|≧0)
x-3=±4
x=7 或 x=-1


希望幫倒你！^^