數學有一定程度的解答一下

如以小數型式表達1/3,就是0.33333333333333333333333...
那麼3/3=(1/3)x3 應是0.999999999999999....
但是 3/3 =1
其實原因是因為如以 1-0.999999999999999...=0.000000000000000000...
因為無窮無盡，所以那個1字都不知應在哪個位置加上
所以人們也將0.999999999999999...寫為1了

1除9

你也懂得說，這是一個循環小數，是沒有盡頭的，
怎能用計算機去算？！

計算機只能處理有限位的數字，並不是萬能的，
如果你想要的答案是用計算機去算的話，不好意思，這是不可能的。

就正如問：
「我要用加減乘除去計算 sin1°一般無稽」

1x1/9=0.11111111111.....
2x1/9=0.22222222222.....
3x1/9=0.33333333333.....
如此類推
8x1/9=0.88888888888......
9x1/9=0.99999999999.......
and 因為9x1/9=1, 所以0.99999.....=1

另外, suppose S=0.9999999.....
S=0.9+0.0999999999.......
S=0.9+0.1x(0.999999999....)
S=0.9+0.1S
S-0.1S=0.9
(1-0.1)S=0.9
0.9S=0.9
S=1
Since S=0.999999..... and S=1
Therefore 0.999999.......=1

另外, 用長除法也可導得0.99999.....=1

__1______
2| 2
__2______ 這個證明了2/2=1

_________如果再此補零的話
|
__0.99______
2| 20
__18_______
20
___18______
2
如此類推, 得出2/2=0.9999999..........



另外, 有一個比喻可以令大家更加明白為甚麼0.9999....=1
想像有一條長1米的繩子, 在它的0.9米處切開,
然後在剩餘的0.1米中, 在0.09米處切開
然後在剩餘的0.01米中, 在0.009米處切開
然後在剩餘的0.001米中, 在0.0009米處切開
如此類推地無窮的切下去
最後把所有繩段接起來,
形成一條長度0.9米 0.09米 0.009米 0.0009米 ...=0.99999.......米的繩子
還記得嗎?這條繩子在切開之前的長度是1米
那為甚麼同一條繩子的長度即是1米, 又是0.9999....米呢?
唯一的結論就是0.9999999........=1了

Suppose a=1-0.999...
a=0.000000......00001 (無窮個零)
a=1*10^-ve infinity
a=1/10^infinity
a=1/infinity
a=0
Therefore 0=1-0.999999......
2 sides add 0.9999....
1=0.999999......

設 a = 1 - 0.9999......，顯然 a 不是負數，對於任何一個大於 0 的數，我們都可以找到一個自然數 n 使得 na > 1，我們稱此為阿基米德原理。也就是說，可以找到一個自然數 n 使得 a greater than 1/n，於是：
1-0.99.....greater than 1/n
這是一個矛盾的結果，因此，a 不會是正數，可是 a ≧ 0，那不就是說 a = 0 嗎？但若 a = 0，na 就不大於 1 了。

以上幾個方法, 都能得出0.9999....=1