3.1415??

請放棄私慾，忠於公心。

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嘩．．自問自答ｂｏ．．

圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。

常用的 π 10進位近以值為3.1415926，另外還有由祖沖之給出的疏率：及密率：。

精確到小數點後第100位的圓周率值

π = 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679……

π的特性和相關方程
幾何：

若圓的半徑為 r，其圓周為 C = 2 π r
若圓的半徑為 r，其面積為 A = π r2
若橢圓的長、短兩幅分別為 a 和 b ，其面積為 A = π ab
若球體的半徑為 r，其體積為 V = (4/3) π r3
若球體的半徑為 r，其表面積為 A = 4 π r2
角度： 180 度相等於 π 弧度

代數
π 是個無理數，不可以是兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了 π 是超越數，即不可能是某有理數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。


數學分析
(Leibniz 定理)
(Wallis乘積)
(歐拉)


(斯特林(Stirling)公式)
(歐拉(Euler)公式)
π 有個特別的連分數表達式：


π 本身的連分數表達式(簡寫)為 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數




第一個和第三個漸近分數即為疏率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。

(另有 12 個表達式見於 [1] )


數論
兩個任意自然數是互質的機率是 6/π2。
一個任意整數沒有重複質因數的機率為 6/π2。
一個任意整數平均可用 π/4 個方法寫成兩個完全數之和。

機率論
取一枚長為l的針，再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的機率是圓周率的倒數（泊松針）。曾經有人以此方法來尋找 π 的值。

Dynamical Systems / Ergodic Theory

對[0, 1]中幾乎所有 x0，其中 xi 是 iterates of the Logistic map for r=4.

物理學
(海森堡測不準原理)

(相對論的場方程)


統計學
(The probability density function for the normal distribution.)

尚待解決的問題
關於 π 未解決的問題包括

它是否是一個 normal number，即 π 的十進位表達式是否包含所有的有限數列。對於二進位表達式，答案是肯定的，這是 Bailey 及 Crandall 於2000年從 Bailey-Borwein-Plouffe 方程的存在而引申出來的。
0,...,9是否以完全隨機的形出現在 π 的十進位表達式中。若然，則對於非十進位表達式，亦應有類似特質。
究竟是否所有0,...,9都會無限地出現在 π 的小數表達式中。
到底超級電腦計算出來的上億位的圓周率是否正確。

文化

背誦π的位數
世界記錄是100000位，原口証（en:Akira Haraguchi）於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。中文用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒」，就是3.14159。


π在數學外的用途
在Google公司2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）
排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.141592
3月14日為圓周率日
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圓周率，一般用π表示，係一個喺數學及物理學普遍存在嘅常數。佢嘅定義為圓形嘅圓周同直徑之比，亦等於圓形嘅面積同半徑平方之比。佢係精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀嘅關鍵。喺分析學上，π 可以定義為最細嘅x > 0 令到 sin(x) = 0。

圓周率係個無理數，唔可以用分數準確表示。π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494...........

對於一般應用，3.14或22/7已經足夠，但工程學成日利用3.1416（5個有效數字）或3.14159（6個有效數字）。至於密率355/113就係易於記憶，精確至7位有效數字嘅分數。

1650年, John Wallis 發現 π/2 = (2.2.4.4.6.6.8.8......) / (1.3.3.5.5.7.7.9......)

1674年, Leibniz 發現 π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 -....... (讀者可自己用基本三角積分學證明喱條等式。)

圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的數學常數。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。

常用的 π 10進位近以值為3.1415926，另外還有由祖沖之給出的疏率：及密率：。

精確到小數點後第100位的圓周率值

π = 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679……

π的特性和相關方程
幾何：

若圓的半徑為 r，其圓周為 C = 2 π r
若圓的半徑為 r，其面積為 A = π r2
若橢圓的長、短兩幅分別為 a 和 b ，其面積為 A = π ab
若球體的半徑為 r，其體積為 V = (4/3) π r3
若球體的半徑為 r，其表面積為 A = 4 π r2
角度： 180 度相等於 π 弧度

代數
π 是個無理數，不可以是兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了 π 是超越數，即不可能是某有理數多項式的根。

圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規作圖問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。


數學分析
(Leibniz 定理)
(Wallis乘積)
(歐拉)


(斯特林(Stirling)公式)
(歐拉(Euler)公式)
π 有個特別的連分數表達式：


π 本身的連分數表達式(簡寫)為 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分給出的首三個漸近分數




第一個和第三個漸近分數即為疏率和密率的值。數學上可以證明，這樣得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。

(另有 12 個表達式見於 [1] )


數論
兩個任意自然數是互質的機率是 6/π2。
一個任意整數沒有重複質因數的機率為 6/π2。
一個任意整數平均可用 π/4 個方法寫成兩個完全數之和。

機率論
取一枚長為l的針，再取一張白紙在上面畫上一些距離為2l的平行線。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到紙面上。針與平行線相交的機率是圓周率的倒數（泊松針）。曾經有人以此方法來尋找 π 的值。

Dynamical Systems / Ergodic Theory

對[0, 1]中幾乎所有 x0，其中 xi 是 iterates of the Logistic map for r=4.

物理學
(海森堡測不準原理)

(相對論的場方程)


統計學
(The probability density function for the normal distribution.)

尚待解決的問題
關於 π 未解決的問題包括

它是否是一個 normal number，即 π 的十進位表達式是否包含所有的有限數列。對於二進位表達式，答案是肯定的，這是 Bailey 及 Crandall 於2000年從 Bailey-Borwein-Plouffe 方程的存在而引申出來的。
0,...,9是否以完全隨機的形出現在 π 的十進位表達式中。若然，則對於非十進位表達式，亦應有類似特質。
究竟是否所有0,...,9都會無限地出現在 π 的小數表達式中。
到底超級電腦計算出來的上億位的圓周率是否正確。

文化

背誦π的位數
世界記錄是100000位，原口証（en:Akira Haraguchi）於2006年10月3日背誦圓周率π至小數點後100000位。中文用諧音記憶的有「山巔一寺一壺酒」，就是3.14159。


π在數學外的用途
在Google公司2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小數點後的位數得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數學常數e有關）
排版軟體TeX從第三版之後的版本號為逐次增加一位小數，使之越來越接近π的值：3.1，3.14，……當前的最新版本號是3.141592
3月14日為圓周率日