甚麼是天元術 ？

天元術 又叫 四元術是中國元朝的數學家朱世傑所發明，記載在他的著作《四元玉鑒》裡。這部著作後來亦被收入《四庫全書》之內。四元術脫胎自李冶的天元術。天元術是中國古代利用算籌計算一元高次方程式的方法；而四元術則將這個方法擴展，變成可以計算四元高次方程式。並利用消元法，將方程式逐步簡化如下：

四元四次 -> 三元三次 -> 二元二次 -> 一元一次 -> 答案
天元術的表示法
天元術利用算籌將高次方程式垂直表示，並逐步消去高次方的數列。以下是現代代數和天元術表示法的比較：




I 　
　
I 　
　
　

III 　
或
III 　
　
x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0

III 元
　
III 　
　
　

I 　
　
I 太
　
　

四元術的表示法

四元一次方程式

x + 2y + 3z + u = 5
用「天」、「地」、「人」、「物」來表示 x, y, z, u。





2 (地)


3 (人)
-5 (太)
1 (天)


1 (物)


圓型方程式

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/0/2/502b4b887d54556732d93034def53532.png
變為x2 + y2 − 6x − 10y + 34 = 0
用四元法表示，就變成了：




1



-10 (地)



34 (太)
-6 (天)
1

天元術是金、元數學家創造的設未知數列方程的方法。祖頤在《四元玉鑒》後序中談到了它的早期發展情況：「平陽蔣周撰《益古》，博陸李文一撰《照膽》，鹿泉石通道撰《鈐 (小老師) 經》，平水劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳 (小老師) 人元裕細草之，後人始知有天元也。」可惜這些著作都亡佚。現存使用天元術的最早著作是李冶的《測圓海鏡》（1248年）。天元術是「立天元一」為未知數，再根據問題的條件列出兩個等價的天元多項式，「如積相消」，得出一個開方式，即一個一元高次方程。天元多項式的表示法是在一次項旁記「元」或在常數項旁記「太」，其他冪次由其與「元」或「太」的相對位置決定。從此，高次方程造術有了規範的程式。天元術先是採用高次冪在上，低次冪在下的方式。比如多項式在《測圓海鏡》中表示成（用阿拉伯數字）：

隨後李冶做了改革，在《益古演段》（1259年）中顛倒過來。此後的數學著作均與後者相同。

元術是金、元數學家創造的設未知數列方程的方法。祖頤在《四元玉鑒》後序中談到了它的早期發展情況：「平陽蔣周撰《益古》，博陸李文一撰《照膽》，鹿泉石通道撰《鈐 (小老師) 經》，平水劉汝諧撰《如積釋鎖》，絳 (小老師) 人元裕細草之，後人始知有天元也。」可惜這些著作都亡佚。現存使用天元術的最早著作是李冶的《測圓海鏡》（1248年）。天元術是「立天元一」為未知數，再根據問題的條件列出兩個等價的天元多項式，「如積相消」，得出一個開方式，即一個一元高次方程。天元多項式的表示法是在一次項旁記「元」或在常數項旁記「太」，其他冪次由其與「元」或「太」的相對位置決定。從此，高次方程造術有了規範的程式。天元術先是採用高次冪在上，低次冪在下的方式。比如多項式在《測圓海鏡》中表示成（用阿拉伯數字）：

隨後李冶做了改革，在《益古演段》（1259年）中顛倒過來。此後的數學著作均與後者相同。http://www.chiculture.net/0803/html/c60/0803c60.html

李冶

李冶(1192-1279)是一位宋元之際的數學家。他著有《益古演段》三卷、《敬齋古今黃主》四十卷、《泛說》四十卷、《文集》四十卷、《壁書叢削》十二卷，而他的得意傑作當首推《測圓海鏡》。

李冶在《測圓海鏡》自序裡說，這本書是根據洞淵的「九容」之說推衍而得來的。在這本書中，李冶廣泛運用了天元術。這天元術，相當於現的代數方程論。我國天元術的使用，雖不自李冶始，但令人驚嚇的是；李冶列方程的步驟竟跟現代的完全一樣！正是通過李冶的著作，我們今天才能對天元術有一個比較系統的了解。

李冶在代數方程方面所取得的成就，不僅表現於他所研究的多是高次方程，更重要的是他把方程常數項由過去限負數推廣到正數。從此，方程對整數系數就沒有甚麼限制了，即各項系數和常數項都可以是正數、負數或零。

表1.天元術和現代解方程的方法的比較

天元術 現代解方程的方法
立天元一 設一個未知數為x
相消 移項，使右端為零
開方式 所求方程