什麼是“賈憲三角”？

楊輝三角形，又稱賈憲三角形、帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列。
楊輝三角形同時對應於二項式定理的係數。
n次的二項式係數對應楊輝三角形的n + 1行。
例如
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2次的二項式正好對應帕斯卡三角形第3行係數 1 2 1。




性質

每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大，然後變小，回到1。
第n行的數字個數為n個。
第n行數字和為2n − 1。
每個數字等於上一行的左右兩個數字之和。(因為
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/6/d/26d3ad311268aea0d2187bb85aff853d.png
)。可用此性質寫出整個帕斯卡三角形。
將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+2行第5個數……連成一線，這些數的和是第2n個斐波那契數。將第2n行第2個數，跟第2n+1行第4個數、第2n+2行第6個數……這些數之和是第2n-1個斐波那契數。

歷史
歷史上有關這個三角形的最早記載在古印度。印度數學家賓伽羅在其梵語詩集（約450年）中，提到這個「須彌山之樓梯」。他還指出了斐波那契數列和這個三角形的關係。
波斯數學家Karaji和天文學家兼詩人Omar Khayyám都發現了這個三角形，而且Karaji還知道可以藉助這個三角形找n次根，和它跟二項式的關係。在伊朗，這個三角形稱為「Khayyám三角形」。
義大利人稱之為「塔塔利亞三角形」（Triangolo di Tartaglia）以紀念發現一元三次方程解的塔塔利亞。
13世紀中國宋代數學家楊輝在《詳解九章算術》里討論這種形式的數表，並說明此表引自賈憲的《釋鎖算術》，並繪畫了「古法七椉方圖」。
布萊士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介紹了這個三角形。帕斯卡搜集了幾個關於它的結果，並以此解決一些機率論上的問題，影響面廣泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亞伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡來稱呼這個三角形。
歷史上曾經獨立繪製過這種圖表的數學家：

楊輝 南宋 1261《詳解九章演算法》記載之功
朱世傑 元代 1299《四元玉鑒》級數求和公式
阿爾·卡西 阿拉伯 1427《算術的鑰匙》
阿皮亞納斯 德國 1527
施蒂費爾 德國 1544《綜合算術》二項式展開式係數
薛貝爾 法國 1545
B·帕斯卡 法國 1654《論算術三角形》

一個數在楊輝三角形出現的次數
由1開始，正整數在楊輝三角形出現的次數為∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... （OEIS:A003016）。最小的數而又大於1在楊輝三角形至少出現n次的數為2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... （OEIS:A062527）

除了1之外，所有正整數都出現有限次。
只有2出現剛好1次。
6,20,70等出現3次。
出現2次和4次的數很多。
還未能找到出現剛好5次的數。
120,210,1540等出現剛好6次。（OEIS:A098565）因為丟番圖方程


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有無窮個解[1]，所以出現至少6次的數有無窮個多。其解答是


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圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/4/9/b49f31aa384ad944cb77db4d2816562b.png

其中Fn表示第n個斐波那契數（F1 = F2 = 1）。



3003是第一個出現8次的數。
賈憲三角是將整次冪二項式
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( n = 0，1，2，3，……）的係數，中間的 2；3，3；4，6，4；……分別是展開式的各廉。後兩句說明了各係數在立成釋鎖法中的應用。賈憲三角之後有造表法，即「增乘方求廉法」，並給出了求六次方各廉的細草。這是確定某次方的位數後，自下而上，隨乘隨加，求得各廉的方法。顯然，用這種方法可以寫出任意層數的賈憲三角。元朱世傑用兩組平行線將賈憲三角的各數聯結起來，說明它還是解決高階等差級數求和問題的主要工具。15世紀阿拉伯數學家阿爾‧卡西，16、17世紀歐洲許多數學家都得到同樣的三角形，被稱做「帕斯卡三角」。
















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