五年級的數學

1.指數記數法是將一個整數用質因數分解，再用指數記數法記錄該數，例如
600=2*2*2*3*5*5 (* 代表乘號)
600用指數記數法就是 2^3 * 3 * 5^2 (^代表次方 而^後面數字就是多少次方)

又如
7007 = 7 * 7 * 11 * 13 (7, 11, 13 是質數), 則
7007用指數記數法就是 7^2 * 11 * 13.

以下是一些基本的指數記數法的規則：
2^2 * 2^3 = 2^5 (5=2+3) a^x * a^b = a^(x+y)
(2^2)^3=2^6 (6=2*3) (a^x)^y=a^(x*y)
2^6 /2^2 = 2^4 (4=6-2) (a^x)/(a^y)=a^(x-y) (/代表除號)

2.學生把 2 ?6 ?10 ?15 = 1800 當作 12、20 和 30 的最小公倍
數！！！

此外，一些看似簡單的問題也能把這些「超班」的學生絆倒，就如求
7 和 11 或 2、 3和 5 的最小公倍數之類，學生往往不知如何是好，
因為他們說不出怎麼走第一步！

我們認為這一切都是他們「未學行、先學走」的結果，大大低估了「最
小公倍數」這一課題。需知這裡涵蓋「最小」、「公」和「倍數」三
個十分基本的數學概念，在掌握這些概念前學習短除法這種機械化操
作，流於捨本逐末。況且他們根本不明白為甚麼這個方法行得通，死
記硬背式的所謂「學習」往往只會帶來一知半解的學習效果。

小心檢視以短除式求最小公倍數的方法，不難發現其中包含求公因數
的步驟。那麼，為甚麼求公倍數的方法竟然含有求公因數的步驟呢？
為甚麼以短除式求兩數的最小公倍數的方法不能直接應用於求三個
數的最小公倍數上？要找出這些問題的答案，非引入算術基本定理不
可，此處從略。不過，如果教師不正視這些潛在的學習困擾，恐怕很
難寄望學生能學好這個課題。

既然於小四教授「以短除式求最小公倍數」的方法有這許多的問題，
為甚麼家長、補習教師、以至一些在職教師皆樂此不疲？理由在於他
們往往不自覺地把「考得好成績」放在比「理解」更高的位置。由此
引伸的問題，就是為甚麼「答好考卷」並不一定基於「理解」？答案
可在下面這道漫不經意的「尋常」考題中找到。

「求 9 和 12 的最小公倍數。」

只要學生能準確地重複「以短除式求最小公倍數」的步驟，老師自然
（也只能）打個滿分。可是，學生是否明白「最小」、「公」和「倍
數」三個十分基本的數學概念則無從稽考。說穿了，就是這道題只要
求學生「懂得一個可求兩數的最小公倍數的方法」，卻不要求學生「懂
得最小公倍數的含義」。把這種做法誇大一點，我們大可教授小六學
生回答以下一道積分問題：

「求 。」

學生並不一定需要知道積分的意義始能依照公式



求得 ，反正要明白
操作程序只需能捕捉符號規律即可，他們甚至不必關心指數的意義！
我們可以因學生能正確地寫下上述的不定積分而認定學生已明白積
分的意義嗎？

怎樣打破以上的困局呢？老師不妨多下功夫，先加強學生對「公倍數」
概念的掌握吧！最理想的方法，是多擬一些「另類」的題目，讓學生
多思考，避免他們盲目運用短除法作計算。例如：

擬題一：(a)把缺漏了的倍數以「晼v符號補充在適當的位置。
4的倍數：4、8、16、20、24、36、40…
6的倍數：6、12、18、24、36、48….
(b)寫出 4 和 6 的三個不同的公倍數。
(c)求 4 和 6 的最小公倍數。

（若學生不能正確清楚列出 4 的倍數缺漏了 12、 28 和 32；6 的
倍數缺漏了 30 和 42，他們只會誤以為 24 是最小公倍數。）

擬題二：某兩數的最小十個公倍數是：
12、24、36、48、60、72、84、96、108、120
(a)這兩個數連同 15 的最小公倍數是甚麼？
(b)這兩個數連同另一數的最小公倍數是 84，試猜該另
一數是甚麼？

（這題測試學生對公倍數的認識，短除法幫不了忙。在 (b) 中更可
鼓勵學生找出數值最小的答案。）

擬題三：圈出下面各組數的公倍數。

(a)9、3：24、36、45、60、108
(b)6、8：6、16、36、72、120

（若學生能以短除式求出各組數的最小公倍數，也未必能懂得如何找
出其他公倍數。因此，這樣的題目有助他們發現其他公倍數正好是最
小公倍數的倍數。）

擬題四：(a)試分別列出 12 和 14 的所有因數。
(b)某兩數有 12 和 14 兩個公倍數，求這兩數的最小公
倍數。
3.（） 小括號是求最大公因數。
〔〕 中括號是求最小公倍數。
〔 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 , 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 7 × 7 〕
＝ 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5× 7 × 7 × 7 × 7
（可以寫成次方形式 因為我也不會打）
＊※＊※＊※＊※＊※＊※＊※＊※＊※＊※＊※＊※＊※＊＊※＊※＊※＊
求最大公因數 條件：1.取共同有的質因數
2.其次數取最小的
如：（ 2 × 2 × 5 × 7 , 2 × 3 × 11 ）＝ 2
（求次方最小的 又要共有的就只有2,所以他們的最大公因數是2）
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求最小公倍數 條件：1.曾出現過的質因數都取
2.次數取最大的
如：〔 2 × 3 × 5 × 7 × , 2 × 2 × 3 〕 ＝ 2 × 2 × 3 × 5 × 7
（求次方最大的 又要曾出現過的質因數 就是有 2 × 2 × 3 × 5 × 7 所以他們的最小公倍數是 2 × 2 × 3 × 5 × 7）
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1~100以內的質因數有:
2 . 3 . 5 . 7 . 11 . 13 . 17 . 19 . 23 . 29 . 31 .37 . 41 . 43 . 47 . 53 . 59 . 61 . 67 . 71 .73 . 79 . 83 . 89 . 97 一共有25個
質數 : 除了1和他自己以外,沒有其他因數 .
合數 : 除了1和他自己以外,還有其他因數 .

1.什麼指數記數法?

指數記數法是將一個整數用質因數分解，再用指數記數法記錄該數，例如
600=2*2*2*3*5*5 (* 代表乘號)
600用指數記數法就是 2^3 * 3 * 5^2 (^代表次方 而^後面數字就是多少次方)

又如
7007 = 7 * 7 * 11 * 13 (7, 11, 13 是質數), 則
7007用指數記數法就是 7^2 * 11 * 13.

以下是一些基本的指數記數法的規則：
2^2 * 2^3 = 2^5 (5=2+3) a^x * a^b = a^(x+y)
(2^2)^3=2^6 (6=2*3) (a^x)^y=a^(x*y)
2^6 /2^2 = 2^4 (4=6-2) (a^x)/(a^y)=a^(x-y) (/代表除號)

2.什麼是因數分解法，求最小公倍數?
質數～一個大於1的整數，其因數只有1和他自己本身以外，再沒有別的因數，這個整數就叫做質數。質數當中，最小的是2。0和1既不是質數也不是合數。1～100當中有哪些數是質數？
2357111317192329
31374143475359616771
7379838997
合數～一個大於1的整數，其因數除了1和他自己本身以外，還有別的因數，這個整數就叫做合數。
【例題1】10～20的合數總和是多少？
【解】10＋12＋14＋15＋16＋18＋20＝105
【例題2】30～40的合數相加時，其中有一數沒有加到，得281，求該數是多少？
【解】30＋32＋33＋34＋35＋36＋38＋39＋40－281＝36
【例題3】求最接近45的二個質數的積是多少？
【解】43×47＝2021
【例題4】求不超過60，又最接近60的二個質數的積是多少？
【解】53×59＝3127

二、什麼是因數？什麼是倍數？
　　在乘法中，幾個相乘的數都叫做積的因數。例如：２×３×５＝30，則２，３，５都是30的因數，而30則為這幾個數的公倍數；也可以說是：甲數能被乙數整除，乙數就是甲數的因數。反過來，甲數就是乙數的倍數。
　　而公因數則是：幾個不同數的因數當中，有相同的因數，叫做公因數。例如：18和24，這兩個數的因數有：(紅色數字即為兩數的公因數)

2006-12-18 18:14:47 補充：
三、公因數與公倍數的應用題要如何來判斷？ 　　　通常我們也可以從應用題的一些問法的文字上來判斷所求的是最大公因數或者是最小公倍數，不過也會有例外的情形：最大公因數 最小公倍數問：最大、最多、最長... 問：最小、最少、至少... 四、最大公因數的求法：一般可以用下列四種方法求出最大公因數(1)排列法～比較適合初學者使用。 因此，18和24的公因數有：1、2、3、6四個，其中6為最大公因數。(2)質因數分解法～適合較簡單的數。18＝2×3×324＝2×2×2×3最大公因數(兩數皆有)：2×3＝6

2006-12-18 18:15:33 補充：
(3)短除法～最常運用的方法。 把求出來的左邊各數(紅色數字)相乘，就可以得到最大公因數：2×3＝6 (4)輾轉相除法～適合數字比較大的數。【例題】以輾轉相除法求出1380，1794的最大公因數？【解】輾轉相除法的重點：大數除以小數。

2006-12-18 18:16:19 補充：
1.先畫出3條直線，把1380和1794兩個數隔開。 2.再以較大的數1794去除以較小的數1380。 3.找出的倍數1倍則放在直線的最右邊。 4.1794－1380＝414。 5.再以1380÷414得到3倍，放在最左邊。 6.1380－1242＝138。 7.414÷138＝3倍(放在最右邊)...0。 8.最後剩下的138就是最大公因數。

1.指數記數法是將一個整數用質因數分解，再用指數記數法記錄該數，例如
600=2*2*2*3*5*5 (* 代表乘號)
600用指數記數法就是 2^3 * 3 * 5^2 (^代表次方 而^後面數字就是多少次方)

2.
例如:12,18

12的倍數:

12,24,36,48,60,72...

18的倍數:

18,36,54,72,90...

哪些倍數是相同的:

36,72...

3.
公因數是一些數的公同因數;即

例如:12,18

12的因數:

1,2,3,4,6,12

18的因數:

1,2,3,6,9,18

哪些因數是相同的:

1,2,3,6

指數記數法是將一個整數用質因數分解，再用指數記數法記錄該數，例如
600=2*2*2*3*5*5 (* 代表乘號)
600用指數記數法就是 2^3 * 3 * 5^2 (^代表次方 而^後面數字就是多少次方)

又如
7007 = 7 * 7 * 11 * 13 (7, 11, 13 是質數), 則
7007用指數記數法就是 7^2 * 11 * 13.

以下是一些基本的指數記數法的規則：
2^2 * 2^3 = 2^5 (5=2+3) a^x * a^b = a^(x+y)
(2^2)^3=2^6 (6=2*3) (a^x)^y=a^(x*y)
2^6 /2^2 = 2^4 (4=6-2) (a^x)/(a^y)=a^(x-y) (/代表除號)

因數分解法,求以下兩題的H.C.F和L.C.H
(A)12,18
12 = 22 x 3

18 = 2 x 32

所以

HCF = 2 x 3 = 6

LCM = 22 x 32 = 36


(B)16,20,24

16 = 24

20 = 22 x 5

24 = 23 x 3

所以

HCF = 22 = 84

LCM = 24 x 3 x 5 = 240

1.指數記數法是將一個整數用質因數分解，再用指數記數法記錄該數，例如
600=2*2*2*3*5*5 (* 代表乘號)
600用指數記數法就是 2^3 * 3 * 5^2 (^代表次方 而^後面數字就是多少次方)

又如
7007 = 7 * 7 * 11 * 13 (7, 11, 13 是質數), 則
7007用指數記數法就是 7^2 * 11 * 13.

以下是一些基本的指數記數法的規則：
2^2 * 2^3 = 2^5 (5=2+3) a^x * a^b = a^(x+y)
(2^2)^3=2^6 (6=2*3) (a^x)^y=a^(x*y)
2^6 /2^2 = 2^4 (4=6-2) (a^x)/(a^y)=a^(x-y) (/代表除號)

2.