為什麼說０．９＝１

||　0.9 ≠ 1
||　0.99 ≠ 1
||　0.999 ≠ 1
||　0.9999 ≠ 1
||　0.99999 ≠ 1
||　但是 0.9999... 無限個 9 才是 1。
把0.999999...循環小數轉分數轉分數，可有兩種方法，如下：

1.設x = 0.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 0.999999... .....(1)
10x = 9.999999... ....(2) ←把方程(1)的兩方同時乘以10。
(2)﹣(1)：
9x = 9
x = 9 / 9 = 1
∴0.999999... = 1

2.設x = 0.9 (9上面加一點，代表循環小數)
即x = 0.999999...
10x = 9.999999... ←將兩方同時乘以10。
10x = 9+0.999999...
10x = 9+x
9x = 9
x = 9 / 9 = 1
∴0.999999... = 1

究竟0.99999=1? 終於有答案啦!!

回到最原始的題目來看; 0.99.. = 1 的問題,僅討論數列收斂性.
為了證得 0.99.. = 1, 我們考慮到幾何級數的問題.
而幾何級數的一般項為 n 1-r^n
Σr^k = -------
k=0 1 - r .
而此公式來由僅僅靠代數四則運算.(即用不到實數的完備性)
即:為了證得 0.99.. = 1, 根據數列收斂的定義;
我們只要確定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1.
現在問題在於如何能確定 r^n -> 0 as n->∞ where -1< r < 1.
根據數列收斂定義而言:給定一個 ε,存在一個 N 使得 n ≧ N => ∣r^n∣ < ε.
換言之;考慮 ∣ r ∣ < ε^(1/n) for all n ≧ N.
我們現在只要能夠做到 ε^(1/n) -> 1 as n -> ∞ 即可.
而這個問題等價於 : 給定任意正數 a, a^(1/n) -> 1 as n-> ∞
不失一般性,令 a > 1. 則 a^n 可寫成 1 + h(n).即: a^(1/n) = 1+ h(n).
(若 a = 1 自動成立. 若 0 1, 故也為顯然)
我們想證: h(n) -> 0 as n->∞.
再度利用四則運算得 a = ( 1+h(n) )^n > 1 + n*h(n).
故 (a-1)/n > h(n) > 0. for all n in N.
再度回到 0.999.. = 1 來看. 我們已經把問題簡化成 :
只要能確定 1/n -> 0 as n-> ∞.
(因:夾擠定理只是數列收斂定義的直接應用的證明,不牽涉實數的完備性)
根據數列收斂定義:給定一個 ε,存在一個 N 使得 n ≧ N => 1/n < ε.
我終究得用阿基米德的性質而宣稱 1/n -> 0 as n-> ∞.
為了不牽涉實數的完備性,我決定引用-
Peano axioms:正整數沒有上界.(因有後繼元素)
也就是說;我現在希望我能用Peano axioms去證得 1/n -> 0 as n-> ∞.
現在證明: 利用正整數沒有上界之事實證得阿基米德原理.
Pf:
給定任兩個正實數 s 與 t,(不論 s 多大且不論 t 多小) 則必定存在一個 n, 使得
s < nt.( 因若不然;則 N 將會有上界.故矛盾)

於是;我利用了 Peano axioms 證得 阿基米德原理.
再根據阿基米德原理去證得 1/n -> 0 as n->∞.
再由此證得 r^n -> 0 as n->∞, where -1 < r < 1.
再依此證得 0.99..= 1.
所以 0.[ 9 ] = 1 ( 其中 [ ] 內為循環節 )

其實個 9 字上面應該有一點, 表示係循環小數.

如是者, 零點之後好多個 9 字, 咁其實就寫成:

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ...... (加至無限個項數)

即係一個等比序列無限項的總和, 其首項為 0.9 及 公比為 0.1
再利用公式 S = a/(1-R), 代 a = 0.9 及 R = 0.1 可得出:
S = 0.9 / (1-0.1) = 0.9/0.9 = 1

根據 &quot;4 捨 5 入&quot; 的理論, 如要求是整數的話 (即沒有小數点), 那樣 0.9 就 等於 1 啦!

四捨五入, 9 大過5, 所以進一, 0.9則變成 1