什麼叫做“韓信點兵”？

流傳有一天趁喝酒之際，劉邦問韓信：「你的手下有多少兵？」韓信故意賣關子說：「我也不知道，但是三個三個一數剩下兩個，五個五個一數剩下三個，七個七個一數剩下兩個。」劉邦與張良都算不出來，所以劉邦暫時不敢動手。

此事流傳後世成為有名的「韓信點兵」數學故事。他的這種巧妙演算法，人們稱爲"鬼穀算"、 "隔牆算"、"秦王暗點兵"等。

如果照韓信的說法, 他到底有多少兵呢, 讓我們以今天的數學來算一算

設韓信有兵N人由上述得知

N – 2 = 3X … (1)

N – 3 = 5Y … (2)

N – 2 = 7Z … (3)

其中X, Y, Z為五整數

由(1)及(2) 得 3X = 7Z 或 … (4)

由(2)及(3) 得 5Y+3 = 7Z+2 或 … (5)

我們可以1,2,3,… 等正整數代入(4) 及 (5) 式求X及Y. 若它們全是整數時即可得N之解。

例如

(a) 設Z = 1時, X = 2.3333, Y = 1.2 不合乎要求.

(b) 設Z = 3時, X = 7, Y = 7 合乎要求. 此時可用(3)式計算得N = 23

韓信點兵

流傳有一天趁喝酒之際，劉邦問韓信：「你的手下有多少兵？」韓信故意賣關子說：「我也不知道，但是三個三個一數剩下兩個，五個五個一數剩下三個，七個七個一數剩下兩個。」劉邦與張良都算不出來，所以劉邦暫時不敢動手。

此事流傳後世成為有名的「韓信點兵」數學故事。他的這種巧妙演算法，人們稱爲"鬼穀算"、 "隔牆算"、"秦王暗點兵"等。

2006-12-14 17:06:59 補充：
如果照韓信的說法, 他到底有多少兵呢設韓信有兵N人由上述得知N – 2 = 3X … (1)N – 3 = 5Y … (2)N – 2 = 7Z … (3)其中X, Y, Z為五整數故韓信可能有兵 23個, 128個 , 233個, 338個, …. 當然他可以有萬千兵, 但他可以最少只得23個兵。而23是韓信點兵問題的最小正整數解答。

2006-12-14 17:07:34 補充：
這種問題在《孫子算經》中也有記載："今有物不知其數：三三數之餘二，五五數之餘三，七七數之餘二，問物幾何?"它的意思就是，有一些物品，如果3個3個的數，最後剩2個；如果5個5個的數，最後剩3個；如果7個7個的數，最後剩2個；求這些物品一共有多少？這個問題人們通常把它叫作"孫子問題"， 西方數學家把它稱爲"中國剩餘定理"。在1247年，秦九韶著《數書九章》，首創"大衍求一術"，給出了這種餘式組的一般求解方法。

2006-12-14 17:08:22 補充：
在歐洲，直到18世紀，歐拉、拉格朗日（Lagrange，1736～1813，法國數學家）等，都曾對這種餘式組問題進行過研究；德國數學家高斯，在1801年出版的《算術探究》中，才明確地寫出了這種餘式組的求解定理。當《孫子算經》中的"物不知數"問題解法於1852年經英國傳教士偉烈亞力（Wylie Alexander，1815～1887）傳到歐洲後，1874年德國人馬提生（Matthiessen，1830～1906）指出孫子的解法符合高斯的求解定理。從而在西方數學著作中就將這種餘式組的求解定理稱譽爲"中國剩餘定理"。