為什麼三個連續奇數一定兩兩互素？

首先講講求兩數的最大公因數的一個方法：輾轉相除法。

例：求65和185的最大公因數。
先用大數除以小數，即185÷65，得出2餘55；
再用小數除以這個餘數，即65÷55，得出1餘10；
再用第一個餘數除以第二個餘數，即55÷10，得出5餘5；
再用前一個餘數除以這一個餘數，即10÷5，得出2餘0。

當除盡時，最後一次獲得的餘數便是原本兩數的最大公因數，即是5。
用直式表達的話，就是

商　　　　　　　　商
１｜６５｜１８５｜２
｜５５｜１３０｜
｜－－｜－－－｜
２｜１０｜　５５｜５
｜１０｜　５０｜
｜－－｜－－－｜
｜　　｜　　５｜


回到正題：
由於該三個是連續奇數，故可設為
2n+1, 2n+3, 2n+5
其中n是一個非負整數。

先看看2n+1, 2n+3：
如 n = 0的話，1與3當然是互素啦。
如 n≠0的話，用輾轉相除法，

先用 (2n+3)÷(2n+1)，得出1餘2；
之後 (2n+1)÷2，得出n餘1；
之後 2÷1，得出2餘0。

所以最大公因數是1，即2n+1, 2n+3互素。
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同樣道理，2n+3, 2n+5亦是互素。
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最後，看看2n+1, 2n+5

如 n = 0的話，1與5當然是互素；
如 n = 1的話，3與7當然是互素；
如果 n>1的話，用輾轉相除法：

先用 (2n+5)÷(2n+1)，得出1餘4；
之後 (2n+1)÷4，得出餘數是1, 2或3，因此最大公因數只可能是1, 2或3。
但由於原來兩數相差4，故不可能同時被3整除；
又由於原來兩數都是奇數，不可能被2整除；
因此它們的最大公因數只可能是1了。
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由此可知，2n+1, 2n+3, 2n+5 必定是兩兩互素的。


希望幫倒你！^^

Let the number be 2n+1, 2n+3 and 2n+5.
Given any prime p, if p divides 2n+1 and p divides 2n+3, then p divides (2n+3) - (2n+1)=2 . This will contradict to the condition of these numbers are odd. Similar arguments for n+3 and n+5.
Now, if p divides 2n+1 and p divides 2n+5, then p divides (2n+5) - (2n+1)=4 . This is also impossible by perious argument.
In conclusion, there is no odd common prime factor and hence they are relatively prime to each other.