球體的證明

When the curve of y = √(r2-x2) revolves around the x-axis, it generates a sphere with radius r. The volume =

V=π∫[from r to -r] (√(r2-x2))^2 dx=π∫[from r to -r] (r2-x2) dx=π(r^2x-x^3/3)[from r to -r]
=π(r^3-r^3/3+r^3-r^3/3)
=4/3πr^3

2006-12-13 18:08:06 補充：
A continuous function f(x) with positive images in interval [a,b], revolving around the x-axis, defines a volume π∫[from a to b] f(x)^2 dx上面應寫成(from -r to r)

現代方法可用微積分去作計算, 首先可以將圓球視為很多片圓柱組成:


圖片參考：http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math101/notes/applications/cutball.gif

當切片越薄, 切片數目越多時, 這些圓柱體的體積總和便越接近真正的 shpere.

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每隻「碟」如上圖所示, 假定 sphere 半徑為 R, 而 shpere 在三維軸上以 origin 為中心, 則每個「碟」都在 y = -R 與 y = R 之間. 假如把 sphere 切成 n 份碟, 則有
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之後要知道每隻碟的底面積才能計算每隻碟的實際 volume:


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從上圖可知, 第 k 隻碟的底面積為:
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,
於是第 k 隻碟的 volume :
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所以 n 隻碟加起來的體積是
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當 n 接近無限大時, 該 n 隻碟的體積總和 = shpere 體積, 運用積分學的概念便可計算出 shpere 的體積:


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化簡後可得到
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, 這就是 shpere 體積 參考資料: