Challenging a.math questions

1a
Completing square，將 -4 除 2 再 Square 得 4，
所以將 x*x - 4x + 7 寫成 x*x - 4x + 4 + 3 ，於是 p = -2, q = 3 了。

1b
叫得你寫做 Square 加一個數，就係想你知 Square 最小都一定係 0
所以，(x+2)^2 + 3 ，最小都只可以當舊 Square 是 0，即最小值為 3

1c
首先注意 (x+2)^2 + 3 一定是正數，所以 1 / (x+2)^2 + 3 都一定是正數
題目那東西最小是 3 ，而那東西是 Square + 3 ，所以個 Square 任大都可以
x^2 - 4x + 7 最小，代表 1 / (x^2 - 4x + 7) 最大，所以最大值為 1/3
x^2 - 4x + 7 最大，代表 1 / (x^2 - 4x + 7) 最小。
但是 x^2 - 4x + 7 任大都可以，1 / (x^2 - 4x + 7) 就任細了。但是卻不計 0~
因為你點代個 x，1 / (x^2 - 4x + 7) 都係正數，永遠不到零
所以答案是 0 至 1/3，包 1/3 但不包 0。

2a

a + B 就是 Root Sum，就是 -p
aB 就是 Root Product，就是 q

所以你可以將 a^2 + B^2 寫成：
a^2 + B^2
= a^2 + B^2 + 2aB - 2aB <---- 攝個 Term 落去
= (a+B)^2 - 2aB <----- 用左公式
咁就可以代番晒o的 a+B、aB
= p^2 - 2q

同樣，你可以將 (a-B)，這個不是 Root Sum，而是 Root Difference 的東西寫成...
(a - B)
= [ (a - B)^2 ] ^ (1/2) <------------ 鑑粗 Square 再開番方
= [ a^2 - 2aB + B^2 ] ^ (1/2)
= [ a^2 + 2aB + B^2 - 4aB ] ^ (1/2) <----------- 我們想要 (a+B) 樣而不是 (a-B) 樣
= [ (a + B) ^2 - 4aB ] ^ (1/2)
= [ p^2 - 4q ] ^ (1/2)
基於「想要 (a+B) 樣而不是 (a-B) 樣」的精神 (因為得 a+B 先有得直代 -p )，
a^2 + B^2 = ( a + B)^2 - 2aB --------------- (1)
(a-B)^2 = ( a + B )^2 - 4aB -------------- (2)
這東西最好記實... 包你話好使好用

以上兩點都好 Standard，一定要記熟

返回題目，
a^3 + B^3 = (a + B) (a^2 - aB + B^2)
前面個 (a+B) 就 OK 了 (可直接代 -p)，後面的點算？
用上面的 (1) 招，代到變左
(a + B) [ (a+B)^2 - 2aB - aB ]
= (a+B) [ (a+B)^2 - 3aB] = (-p) ( p^2 - 3q )

之後，試o下將 (a-B^2) (B-a^2) 硬爆...
aB + a^2 B^2 - a^3 - B^3
前面兩個 Term 就代 q 和 q^2 (簡單)，
後面的 -a^3 -B^3 就只是上面答案的負數姐... 代番又 OK

2b

佢話兩個 Roots，是但一個是另一個的 Square。
當住兩個 Root 叫 a B 先啦
咁唔知邊個係邊個的 Square 嘛，咁咪要兩個 Case 都睇晒。
一個 Case 就是 a^2 = B ，一個 Case 就是 a = B^2。
要是但一條 Equation 成立，所以...

a^2 = B or a = B^2

之後，好似 Quadratic Equation 倒轉頭做...
a^2 - B = 0 or a - B^2 = 0

可以將兩條黐埋...
(a^2 - B) (a - B^2) = 0

哇，屈機！點解個左手邊同 2a 第二個答案一樣的？？
就代番落去，咁就做完！收工！

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最重要的是，識得上述的 (1) (2) 招，
咁對住二次方就無敵，三次方都可以用
A^3 + B^3 = (A+B) (A^2 - AB + B^2)
A^3 - B^3 = (A-B) (A^2 + AB + B^2)
這兩招，將三次方變成二次方，咁又無敵了。