求一個小於2006的正整數n,使得2006n是2006+n的倍數

也不是很複雜的一條數, 樓上未免做得太難了吧~

不難見得:
2006n / 2006+n
=2006 - 2006^2 / 2006+n
因此, 要令2006n是2006+n的倍數, 2006+n必然是2006^2的因子(factor)
繼而 1 <= n <= 2005, 於是 2007 <= 2006+n <= 4011---(*)
由於2006^2 = 2^2 * 17^2 * 59^2
2006+n的唯一可能要符合(*)這條不等式便是59^2=3481
最後, 2006+n = 3481
亦即 n=1475

希望能幫到你 =)

Clear and elegant proof.

為方便起見，如果a能被b整除，即a÷b沒有餘數，則寫作 b|a。

由於(2006+n) | 2006n，則2006n = (2006+n)m，m是某一個正整數。
即
2006n = 2006m + mn
2006m = 2006n - mn
2006m = (2006 - m)n
作因式分解，發現2006=2x17x59，即
2x17x59m = (2x17x59 - m)n

如n不能被59整除，則2x17x59 - m必須能被59整除，故m必須為59的倍數，即m=59p。
2x17x59x59p = (2x17x59 - 59p)n
2x17x59²p = 59(2x17 - p)n
左邊有59²為因數，但2x17 - p不可能再含有59為因數，故此有矛盾。
因此59|n，故設 n=59a
2x17x59m = (2x17x59 - m)59a
2x17m = (2x17x59 - m)a

如17|a，由於n＜2006，則a=17，
2x17m = (2x17x59 - m)17
2m = 2x17x59 - m
3m = 2x17x59
右邊並沒有3的倍數，故出現矛盾

所以a不能被17整除，故此17| (2x17x59 - m)，即17|m，故設m=17b。
2x17x17b = (2x17x59 - 17b)a
2x17b = (2x59 - b)a
由於a不能被17整除，17| (2x59 - b)，故此b只可能是16, 33, 50, 67, 84,101。
由於想要最小的n，故此a亦儘可能想要最小，故選的b亦儘可能地小。

先試b=16
2x17x16 = (2x59 - 16)a
2^5 x 17 = 102 a = 3x34a
因左邊沒有3的倍數，故出現矛盾。

再試b=33
2x17x33 = (2x59 - 33)a
2x17x33 = 85 a = 5x17a
因左邊沒有5的倍數，故出現矛盾。

再試b=50
2x17x50 = (2x59 - 50)a
2²x5²x17 = 68 a = 2²x17a
故此a=25

所以最小的 n = 59a = 59x25 = 1475

補充：2006 x 1475 = 850 x (2006 + 1475)

n=2006吧...