證明負負得正

說法一：
假設班上原來有10個好學生,10個不好的學生.
1.比原來多(+)1個好(+)學生->全班整體變好(+)
2.比原來多(+)1個不好(-)學生->全班整體變不好(-)
3.比原來少(-)1個好(+)學生->全班整體變不好(-)
4.比原來少(-)1個不好(-)學生->全班整體變好(+)

說法二：
你可以把"數線"列出來阿!!
在數線上...在負數裡面~~~在減...不事就會靠近0(也就是原點)
不就是負負得正ㄌ

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我以金錢的方式舉例
正正得正:甲方有五塊 乙方有兩塊 加起來是多少 因為多的再增加 所以就是正的 也就是2+5=7
正負得負:甲方有2塊 乙方少七塊 加起來是多少 因為甲方多2 乙方少7 所以就是少5 也就是2+(-7)=-5
負正得負:甲方少2塊 乙方少7塊 加起來是多少 因為甲方少2 乙方少七 加起來就是少9 也就是(-2)+(-7)=-9
負負得正:甲方有7塊 乙方少2塊 減掉是多少 因為把欠的2塊減掉 所以就是正的
也就是7-(-2)=9

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解釋一：分配律著手
當然首先要先知道幾個觀念：
第一件事是一個正數×一個負數會是負數，
第二件事是任何數乘上0都為0，
第三件事是分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
如果瞭解了這三件事情，就能推導出(－1)×(－1)＝1
我們要利用到分配律來說明為何(－1)×(－1)＝1，所謂的分配律就是
對任意的數字a、b、c，我們有 a×(b＋c)＝a×b＋a×c
∵－1×〔(－1)＋1〕＝－1×0 ，再由分配律對左式展開
∴(－1)×(－1)＋(－1)×1＝0，
∵(－1)×1＝－1
(－1)×(－1)＋(－1)＝0---(1)
∵ 1＋(－1)＝0----------------(2)
(1)、(2)式對照可得到(－1)×(－1)＝1
註：要瞭解此證法，前三個觀念要清楚，對中後半段同學是吃力的。

解釋二：指數的積律著手
指數律有許多種，例如2x‧2y＝2x+y、(2x)y＝2xy...（不妨以2為底數）
我們要利用的是指數的積律：(2x)y＝2xy.
國中時候所學的是當x、y都為正數時，我們不難的推出指數的積律，
而如果指數的積律要對無論是正數或是負數都通用，要有何條件呢？
我們仍然以2為底數，
依指數的積律可得(2-1)-1＝2(-1)(-1).
在左式中(2-1)=1/2，而(1/2)-1=2，也就是左式為2
那麼又是的結果應該也是2，也就是21
∴(－1)×(－1)
註：要瞭解此證法，指數率要熟悉，對國中生而言，似乎不可能，而
為什麼我們指數的積律要對正負數都通用呢？似乎也未說明白、
講清楚。

解釋三：日常經驗著手
因為上述兩種說法，對國中生而言似乎較難接受，因此一些有經驗的
國中教師都會用一些日常生活經驗來說明，例如：
一艘湖面上的船，每日丟十公斤到船上，每丟一次十公斤則船下降1公
分，我們把下降當作是正的方向，則明天因為丟了十公斤，所以是＋
1，後天是2×(＋1)=2，...因此我們可推到正正得正，那麼昨日呢？昨日
應該是－1日才對，因為－1×(＋1)＝－1，所以昨日船的刻度應該是
－1因此我們得到了負正得負。如果我們把條件換過來，船水位刻度仍
然是0，下降定為正的方向，現在改為每日從船上取下十公斤，則明日
船水位的刻度，應該是1×(－1)＝－1，後天船水位的刻度應該是
2×(－1)＝－2，大後天船的水位應該是3×(－1)＝－3...因此我們得到
正負得負的規律，那麼如果把時間倒退，現在船水位的刻度是0，
則昨天船的應該比今天多載了十公斤，因為是下沈1公分，昨天是－1
日，所以我們可以得到(－1)×(－1)＝1，前天是－2日，下沈2公分，
因此可以得到－2×(－1)＝2...，也就是負負得正的規律。
註：對國中生而言，這似乎是比較能接受的觀念，因為這與他們的生
活經驗符合，不過他的缺點是這只是一個例子，在數學上未必代
表證明。

解釋四：生活口語著手
有一些語言中事實上常含有負負得正的這種規律，在此舉兩個例子：
例子一：
我是愛你的---真的愛你（正正得正）
我愛你是假的---真的不愛你（正負得負）
我不是愛你的---真的不愛你（負正得負）
我不愛你是假的---真的愛你（負負得正）
例子二：
好人有好報是好事（正正得正）
好人有壞報是壞事（正負得負）
壞人有好報是壞事（負正得負）
壞人有壞報是好事（負負得正）

This should be proved from the axioms

Claim: a(0)=0
pf:
a(0)
=a(0)+0(additive identity)
=a(0)+a-a(additive inverse)
=a(0+1)-a(distributive law)
=a(1)-a(additive identity)
=a-a(multiplicative identity)
=0(additive inverse)

(-1)(-1)
=(-1)(-1)+0 (additive identity)
=(-1)(-1) -1+1(additive inverse)
=(-1)(-1+1) +1(distributive law)
=(-1)(0) +1(additive inverse)
=0+1(a(0)=0)
=1(additive identity)

Let P(x,y) be the proposition(-x)(-y)＞0 for x&y＞0

for x=y=1,(-1)(-1)=1＞0

so P(1,1) is true

assume that P(k,m) is true for.k&m＞1(∵P(1,1) is already proved),i.e.(-k)(-m)＞0

for.P(k+1,m+1),(-k-1)(-m-1)=(-1)(-1)(k-1)(m-1)=km-(k+m)+1=(m-1)k-m+1

for k＞m,(m-1)k-m+1＞0(∵k times any no.＞1 must also＞m)

for,k=m,(m-1)k-m+1==(m-1)m-m+l＞0

for.k＜m,(m-1)k-m+1=(k-1)m-k+1＞0(∵m times any no. ＞1 must also ＞k)

∴ if P(k,k) is true,P(k+1,k+1) is also true

∴ by M.I. P(x,y,) is true for x &y＞0

2006-12-08 21:34:34 補充：
line 9 is wrong:∴ if P(k,m) is true,P(k 1,m 1) is also true

2006-12-08 21:35:21 補充：
∴ if P(k,m) is true,P(k+1,m+1) is also true

To prove (-x)(-y)=xyfor all real x

If (-x)(-y)>xy for some x,y>0

then by cancelling x and y on both sides (-1)(-1)>1
dividing -1 on both sides -1<-1, hence contradiction

Similarly contradiction arises for (-x)(-y)>xyfor some x,y<0
It is also true for x>0, y<0
and for x<0, y>0

and it is obvious that (-x)(-y)>xy is not true for x=y=0

So therefore (-x)(-y)>xy is not true for all real x and y

Similarly (-x)(-y)






x+y
i.e. -(-y)>y (subtracting x on both sides)
i.e.-y<-y (dividing -1 on both sides)
Hence contradiction

Similarly it is not true for x-(-y)