F.4 A-maths~~~

最後，回應一下a97lkc君的答案：
1a), b). 傳輸帶不是包著整個輪子的，所以不可能單用 2πr 來計算周界，πr² 來計算面積。

2. 可能閣下對該題的圖有一點誤解，請看下面的圖。

3. 你的計法：
EDC的面積=AEB的面積-半圓的面積+弓形CD的面積
只差一點才對，正確來說，應該是
EDC的面積=AEB的面積-半圓的面積+2*弓形CD的面積【因為兩邊的弓形都要補回】
如果換回這條正確的式子，亦可以計算出與我的步驟相同的答案。


正式解題了：

1a)
請看圖：
http://www.geocities.com/abcsghk/7006120604738Q1.gif
【上圖為本人原創，如未得本人同意，請勿盜連，謝謝！】

首先，因為AA' 是大圓的切線，且OA是圓的半徑，所以∠OAA' = 90°【切線⊥半徑】
同理，∠O'A'A = 90°【切線⊥半徑】，
所以O'A'AO是一個梯形。

接著，將AA'平移，使得A' 移到O'，此時，A則移到C(看圖)，此時AA'O'C是一個長方形。而AC = A'O' = 8 cm，故此OC = OA - AC = 17-8 = 9 cm。
由於畢氏定理，
OO' ² = CO' ² + CO ²
41² = CO' ² + 9²
CO' ² = 1600
CO' = 40 cm
即AA' = 40 cm。
由於圖的對稱性，可知BB' = 40 cm。

另外，cos∠COO' = CO/OO' = 9/41
所以∠COO' = cos^(-1) 9/41【或77.3196°，如果你喜歡數字的話】

亦由於圖的對稱性，∠BOO' = ∠COO' = cos^(-1) 9/41【或77.3196°】，
所以由【圓周角】，可知反角∠AOB = 360° - 2 cos^(-1) 9/41【或205.3607°】
故此整條傳輸帶長度
= 大圓弧AB + BB' + 小圓弧A'B' + AA'
= 2π(17)* (360° - 2 cos^(-1) 9/41) / 360° + 40 + 2π(8)* (2 cos^(-1) 9/41) / 360° + 40
= 60.9318 + 40 + 21.5917 + 40
= 162.5235
= 162. 52 cm (取至2個小數位)

1b)
傳輸帶圍成的面積
= 大扇形AOB + 梯形A'O'OA + 梯形B'O'OB + 小扇形A'O'B'
= π(17)² * (360° - 2 cos^(-1) 9/41) / 360° + (8+17)*40/2 + (8+17)*40/2 + π(8)² * (2 cos^(-1) 9/41) / 360°
= 517.9200 + 500 + 500 + 86.3668
= 1604.29 cm² (取至2個小數位)


2)
請看圖：
http://www.geocities.com/abcsghk/7006120604738Q2.gif
【上圖為本人原創，如未得本人同意，請勿盜連，謝謝！】

圖中淺藍色部分就是想求的面積，而我使用的方法就是先計算CEBO的面積，然後減去四分一圓CDO的面積。

由於CEBO由直角△CEO和扇形EOB組成，故此計法如下：
OE = 8 cm【半徑】
CO = 4 cm 【C為OA的中點，而OA是半徑】
由畢氏定理，
CO² + CE² = OE²
4² + CE² = 8²
CE = √48 = 4√3 cm
所以△CEO的面積 = OC*CE/2 = 4*4√3 /2 = 8√3 cm²

另一方面，cos∠COE = OC/OE = 4/8 = 1/2，所以∠COE = cos^(-1) 1/2 = 60°，故此∠BOE = 30°。所以扇形EOB的面積為：
π(8)² * (30°/360°) = 16π/3 cm²

最後，陰影部分的面積 = 8√3 + 16π/3 - π(4)² /4 = 8√3 + 4π/3 cm²【或18.05 cm²】


3)
請看圖：
http://www.geocities.com/abcsghk/7006120604738Q3.gif
【上圖為本人原創，如未得本人同意，請勿盜連，謝謝！】

圖中淺藍色部分就是想求的面積，而O是半圓的圓心，由於AB = 10 cm，故圓的半徑 = 5 cm。連接DO及CO，則DO = CO = 5 cm【半徑】。

然後我們證明△ADO是等邊三角形：
由於△AEB是等邊三角形，∠DAO = 60°。又由於 DO = AO = 5 cm【半徑】，故此△OAD是一個等腰三角形，故此∠ODA = 60°，所以∠AOD = 180° - 60° - 60° = 60°，亦即是說△ADO是等邊三角形。

所以AD = DO = AO = 5 cm，故此DE等於10 - 5 = 5 cm。
由圖形的對稱性可知CE = 5 cm，故此EDOC是邊長為5 cm的菱形。
又由圖形的對稱性可知∠COB = 60°，所以∠DOC = 180° - 60° - 60° = 60°。
如果以DO為菱形的底，則高(設為h)的長度為：
sin 60° = h/5
h = 5 sin 60° = 5√3 /2 cm
所以菱形的面積 = 5 * (5√3 /2) = 25√3 /2 cm²

另一方面，扇形OCD的面積 = π(5)² * (60°/360°) = 25π/6 cm²
所以，著色部分的面積 = 25√3 /2 - 25π/6 = 8.56 cm²


雖然我沒有答案，但也可以肯定是99.99%對的。
希望可以幫倒你！^^

1a.傳動帶的長度=2π(17)+2π(8)+41-17-8=50π+16=173.08cm,cor. to 2 d.p.

b.傳動帶所圍成的面積=π(17^2)+π(8^2)=353π=1108.98cm2,cor. to 2 d.p.

2OE^2=OC^2+CE^2(Pyth. Thm)
8^2=4^2+CE^2
CE=4√3cm

tan∠COE=4√3/4=√3
∠COE=60

∠EOB=90-60=30

so 面積=(1/2)(4)(8)+(30/360)π(8^2)=16+16π/3=32.8cm2,cor. to 3 sig. fig.

3.EDC的面積=AEB的面積-半圓的面積+弓形CD的面積
=(1/2)(10^2)sinπ/3-π(5^2)/2+(1/2)(5^2)(π/3-sinπ/3)=6.24cm2,cor. to 3 sig. fig.