畢氏定理的證明

1.

劃一個正方形 ABCD，
E 點在 AB 上使 AE = a 及 EB = b；
F 點在 BC 上使 BF = a 及 FC = b；
G 點在 CD 上使 CG = a 及 GD = b；
H 點在 DA 上使 DH = a 及 HA = b。

所以正方形的邊長為( a + b )
正方形的面積 = ( a + b )^2

另一方面，這個圖形也可分拆成四個直角三角形及一個小正方形 EFGH
一個直角三角形的面積 = a x b / 2
正方形 EFGH 的面積 = c x c

因此，
正方形 ABCD 的面積 = 四個直角三角形的面積 + 正方形 EFGH 的面積
( a + b )^2 = 4 x ( a x b / 2 ) + c x c
a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2
a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = 2ab + c^2 - 2ab
a^2 + b^2 = c^2

2.

(1). 計算船所行的距離
(2). 計算建築物的高度

2006-12-05 19:32:21 補充：
http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Image:Ggdl.GIF&variant=zh-tw

http://hk.geocities.com/cowcow138168/prove.jpg
Let the position vector of A & B be vector a and vector b respectively.
Then vector OA = vector a
vector OB = vector b
|vector OA|^2
=vector OA‧vector OA
=|vector a|^2
|vector OB|^2
=vector OB‧vector OB
=|vector b|^2
vector AB = vector OB- vector OA = vector b - vector a
|vector AB|^2
=vector AB ‧vector AB
=|vector b - vector a|^2
=|vector b | ^2 -2 vector a‧vector b + |vector a | ^2
=|vector b|^2-2|vector a| |vector b| cos 90(degrees) + |vector a | ^2 (dot product)
=|vector a|^2+|vector b|^2
So |vector OA|^2+|vector OB|^2=|vector AB|^2
if only consider the magnitudes, vector OA=OA, vector OB = OB, vector AB = AB
So OA^2+OB^2=AB^2

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/zh/thumb/c/c4/Ggdl.GIF/180px-Ggdl.GIF



圖片參考：http://zh.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png
一種證明方法的圖示：左右兩正方形面積相等，各扣除四塊藍色三角形後面積仍相等