Q1:從1寫到999的數字除以11的餘數為何?

首先，11的整除性驗算方法為將奇位之和 減去 偶位之和，除以11後的餘數就是就原數的餘數。如奇位之和比偶位之和少，則餘數會得出負數，只須把這個負數加上11就是原數的餘數。

例1：96758
奇位之和 = 8+7+9 = 24
偶位之和 = 5+6 = 11
奇位之和 － 偶位之和 = 24 - 11 = 13
由於13除以11的餘數為2，故原數除以11的餘數都是2。

例2：19090
奇位之和 = 0+0+1 = 1
偶位之和 = 9+9 = 18
奇位之和 － 偶位之和 = 1 - 18 = -17
由於 -17 除以11的餘數為 -6，故原數除以11的餘數為 -6+11 = 5。

回到題目，數字為
12345678910111213....96979899100101102103.....996997998999

先考慮由3位數組成的部分，即
100101102103...996997998999
從最右面看起，每兩個兩個數字組合，如下：
(100101)(102103)...(996997)(998999)
在(998999)中，發現奇位的和比偶位的和多1，再觀察一下，發現其實每一個括號都是奇位的和比偶位的和多1，由於在此共有999-100+1=900個3位數，因此在3位數組成的部分中，奇位之和－偶位之和=900/2=450。

另一個注意的地方，就是在上面每個括號內，最右面的數位都是奇位，最左面的都是偶位。

到由2位數組成的部分，即：
10111213....96979899
由於3位數組成的最左面一個是偶位，因此(9899)中的最右面是奇位。故此，偶位都是每個2位數的十位，而奇位是個位。

偶位之和 = 9*10 + 8*10 + 7*10 +...+ 2*10 + 1*10 = (9+8+7+...+2+1)*10 = 450
奇位之和 = 9*(9+8+7+6+5+...+1+0) = 405
故此，在2位數組成部分中，奇位之和－偶位之和=405-450=-45

最後，是1位數組成的部分，
奇位之和 = 9+7+5+3+1 = 25
偶位之和 = 8+6+4+2 = 20
故此，在1位數組成部分中，奇位之和－偶位之和=25-20=5

總括來說，奇位總和－偶位總和 = 450 + (-45) + 5 = 410
由於410除以11=37...3，
因此原數(1234567891011121314......997998999)除以11餘3。

2006-12-01 01:12:21 補充：
請注意這個題目不要以為在3位數組成部分中，兩個兩個組起來使奇位－偶位＝１，就認為同樣可以應用在2位數組成部分上。（我差點也看漏了）其實就以九十至九十九的組成部分看90919293949596979899，你會發現偶位全是9，而奇位由右至左分別是9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0。這個可以說是這一題最巧妙的部分了，而相信上面兩位亦已經犯下了這個錯誤。

I found the remainder is zero by a very stupid method. I will double check it and I hope I could post the proof on time.

2006-12-02 00:35:11 補充：
I have double checked my work and finally found that Mr. abcsghk is correct.i.e. The answer is 3Pls vote to Mr. abcsghk.

Anser is 5

首先, 我地需要明白, 11的倍數中, 單數位與雙數位的差必是零.

由於呢個數是有次序排列的, 我地先睇頭幾項
2-1= 1
4-3=1
6-5=1
1至999, 兩個兩個咁, 共有數998/2 =499對 = 499
餘數= 499/11 = 4+9-9= 4
999/11的餘數 = 9+9-9, 餘數=9

呢個數/11的餘數 = 4+9-11 (因為大過11就再減)=2

2006-12-01 00:59:11 補充：
我錯了, 不可以雙數減單數, 因為十位數以上是不可行的.改正如下:首先, 我地需要明白, 11的倍數中, 單數位與雙數位的差必是零.由於呢個數是有次序排列的, 我地先睇來幾項例子(唔要1先,單數減雙數 )3-2=15-4=1...........11-10 =1.......999-998=12至999, 兩個兩個咁, 共有數998/2 =499對 = 499餘數= 499/11 = 4+9-9= 4現在, 加埋1呢個數/11的餘數 = 4+1 =5

答案是5.

123456789101112....997998999

若一個數可被11 除盡11
就是若 (1+3+5+...+999) - (2+4+6+...+998) 可被11 除盡, 此兩數的差是 -1*499 + 999 = 500

所以若此數是123456789101112...997998994, 此兩數的差是500-5 = 495 可被11除盡.

總論: 餘數是5.