一個線代對角化的問題

因為 A是skew-Hermitian
所以 A的特徵值是純虛數
假設A的特徵值是 iR,........ R是實數
令 A 在實數中的最小多項式為 f , 在複數中的最小多項式為 g
則 g | f (在複數中)
又 x-iR | g (在複數中)
故 x-iR | f (在複數中)
所以 x=iR 為 f=0 的根.
又包含iR為根的最小次數的實係數首一多項式為 x^2+R^2
所以 x^2+R^2 | f
很明顯的, x^2 + R^2 在實數中為不可約
故 f 不為一次式的乘積, 故在實數不可對角化!

2006-11-27 02:25:42 補充：
這裡要補充一下, A is skew-Hermitian(skew-Symmetric) A可以實數對角化若且為若A的特徵值只有0!

2006-11-27 02:26:53 補充：
上面證明如果有非零純虛數特徵值必然不可實數對角化.

定理是說:一矩陣A怖於C,它是Hermitian,A才可以對角化佈於R上的話,它必須是real symmetric matrix,才可對角化以上只有這兩種情形可保證對角化,其餘皆不行