數學一問（5點）

一個立體由一個半徑為 r cm 的半球體及一個底圓半徑為 r cm 的直立圓錐體組成，立體的高為 2r cm。
a)以 r 表示立體的體積

上半球體積
= 圓球體體積/2
= 4π(半徑)³/3/2
= 4πr³/3
= 2πr³/3 cm³

下圓錐體積
= 圓錐體體積
= π圓錐體高度(半徑) ²/3
= π(2r-r)r²/3
= πr³/3 cm³

立體體積
= 上半球體積 + 下圓錐體積
= 2πr³/3 + πr³/3
= πr³ cm³

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b)若立體的體積為64π cm³，求
i) r 的值

應用 part (a)：
64π = πr³
r³ = 64
r = 4

ii) 立體的總表面面積

上半球表面面積
= 圓球體表面積/2
= 4π(半徑)²
= 4πr²/2
= 2πr² cm²

下圓錐表面面積
= π(半徑)(斜高)
= π(r)(r√2)
= √2πr²

總表面面積
= 上半球表面面積 + 下圓錐表面面積
= 2πr² +√2πr²
= (2+√2)πr²
= (2+√2)πr² ............... (將 r=4 代入)
= (2+√2)π(4)²
= 16(2+√2)π cm²
= 171.617 cm²

球體的體積：4/3 π r^3
圓錐的體積：(1/3)πr^2h

a)圓錐體高：
2r-r
=r cm
圓錐體的體積：
(1/3)πr^2r
=1/3π r^3 cm³
半球體的體積：
(4/3 π r^3)/2
=2/3 π r^3cm³
立體的體積：
1/3π r^3+2/3 π r^3
=π r^3 cm³


b)i, 64π=π r^3
64=r^3
4^3=r^3
4=r
r=4