什麽是數學？

中國數學﹝Chinese Mathematics﹞ 中國是世界文明古國之一，地處亞洲東部，瀕太平洋西岸。數學在中國的發展源遠流長，成就輝煌。下面我們依歷史的發展，分段敘述。 先秦萌芽時期 黃河流域和長江流域是中華民族文化的搖籃，大約在公元前2000年，在黃河中下游產生了第一個奴隸制國家──夏朝。其後有商、殷兩代﹝約1500 B.C -1027 B.C﹞、及周朝﹝1027 B.C -221 B.C﹞。歷史上又稱公元前八世紀至秦王朝的建立﹝221 B.C﹞為春秋戰國時期。 據《易．系辭》記載：「上古結繩而治，後世聖人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數文字，共有13個獨立符號，記數用合文書寫，其中有十進位制的記數法，出現最大的數字為三萬。 算籌是中國古代的計算工具，而這種計算方法稱為籌算。算籌的產生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。 表示一個多位數字時，採用十進位值制，各位值的數目從左到右排列，縱橫相間﹝法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當﹞，並以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。 籌算直到十五世紀元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數學就是在籌算的基礎上取得其輝煌成就的。 在幾何學方面《史記．夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、准、繩等作圖和測量工具，並早已發現「勾三股四弦五」這個勾股定理﹝西方稱畢氏定理﹞的特例。戰國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規範，包含了一些測量的內容，並涉及到一些幾何知識，例如角的概念。 戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調抽象的數學思想，例如「至大無外謂之大一，至小無內謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數學命題是相當可貴的數學思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。 此外，講述陰陽八卦，預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽，並反映出二進制的思想。 　 漢唐初創時期 這一時期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數學發展，所經歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。 秦漢是中國古代數學體系的形成時期。為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化，數學方面的專書陸續出現。 西漢末年﹝公元前一世紀﹞編纂的天文學著作《周髀算經》在數學方面主要有兩項成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠的陳子測日法，為後來重差術的先驅。此外，還有較複雜的開方問題和分數運算等。 《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書於東漢初年﹝公元前一世紀﹞。全書採用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關於線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展。 魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽和劉徽的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一，對《周髀算經》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術》，不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，且在論述過程中多有創新，更撰寫《海島算經》，應用重差術解決有關測量的問題。劉徽其中一項重要的工作是創立割圓術，為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的算法。 南北朝時期的社會長期處於戰爭和分裂狀態，但數學的發展依然蓬勃。《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》就是這個時期的作品。《孫子算經》給出「物不知數」問題，導致求解一次同餘組問題；《張丘建算經》的「百雞問題」引出三個未知數的不定方程組問題。 祖沖之、祖日桓父子的工作在這一時期最具代表性，他們在《九章算術》劉徽注的基礎上，將傳統數學大大向前推進了一步，成為重視數學思維和數學推理的典範。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。其著作《綴術》已失傳，根據史料記載，他們在數學上主要有三項成就：(1)計算圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113；(2)得到祖 日桓定理﹝冪勢既同，則積不容異﹞並得到球體積公式；(3)發展了二次與三次方程的解法。 隋朝大興土木，客觀上促進了數學的發展。唐初王孝通撰《緝古算經》，主要是討論土木工程中計算土方、工程的分工與驗收以及倉庫和地窖的計算問題。 唐朝在數學教育方面有長足的發展。656年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》﹝包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》﹞，作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。 此外，隋唐時期由於曆法需要，創立出二次內插法，為宋元時期的高次內插法奠定了基礎。而唐朝後期的計算技術有了進一步的改進和普及，出現很多種實用算術書，對於乘除算法力求簡捷。 　 宋元全盛時期 唐朝亡後，五代十國仍是軍閥混戰的繼續，直到北宋王朝統一了中國，農業、手工業、商業迅速繁榮，科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀﹝宋、元兩代﹞，籌算數學達到極盛，是中國古代數學空前繁榮，碩果累累的全盛時期。
這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章算法細草》﹝11世紀中葉﹞，劉益的《議古根源》﹝12世紀中葉﹞，秦九韶的《數書九章》﹝1247﹞，李冶的《測圓海鏡》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞，楊輝的《詳解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法》﹝1262﹞和《楊輝算法》﹝1274-1275﹞，朱世杰的《算學啟蒙》﹝1299﹞和《四元玉鑒》﹝1303﹞等等。 宋元數學在很多領域都達到了中國古代數學，甚至是當時世界數學的巔峰。


其中主要的工作有： 高次方程數值解法； 天元術與四元術，即高次方程的立法與解法，是中國數學史上首次引入符號，並用符號運算來解決建立高次方程的問題； 大衍求一術，即一次同餘式組的解法，現在稱為中國剩餘定理； 招差術和垛積術，即高次內插法和高階等差級數求和。 另外，其他成就包括勾股形解法新的發展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖﹝幻方﹞的研究、小數﹝十進分數﹞具體的應用、珠算的出現等等。 這一時期民間數學教育也有一定的發展，以及中國和伊斯蘭國家之間的數學知識的交流也得到了發展。 西學輸入時期 這一時期從十四世紀中葉明王朝建立到二十世紀清代結束共500多年。


數學除珠算外出現全面衰弱的局面，當中涉及到中算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等複雜的問題，不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。十六世紀末，西方初等數學開始傳入中國，使中國數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。鴉片戰爭後，近代高等數學開始傳入中國，中國數學轉入一個以學習西方數學為主的時期。直到十九世紀末，中國的近代數學研究才真正開始。 明代最大的成就是珠算的普及，出現了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統宗》﹝1592﹞問世，珠算理論已成系統，標志著從籌算到珠算轉變的完成。


但由於珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳，數學出現長期停滯。 隋及唐初，印度數學和天文學知識曾傳入中國，但影響較細。到了十六世紀末，西方傳教士開始到中國活動，和中國學者合譯了許多西方數學專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷﹝1607﹞，其嚴謹的邏輯體系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創，且沿用至今。

在輸入的西方數學中僅次於幾何的是三角學。在此之前，三角學只有零星的知識，而此後獲得迅速發展。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》﹝2卷，1631﹞、《割圓八線表》﹝6卷﹞和羅雅谷的《測量全義》﹝10卷，1631﹞。在徐光啟主持編譯的《崇禎曆書》﹝137卷，1629-1633﹞中，介紹了有關圓椎曲線的數學知識。 入清以後，會通中西數學的傑出代表是梅文鼎，他堅信中國傳統數學「必有精理」，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數學，使之在中國扎根，對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。

從數學的應用談起

數學在學校教育佔有相當重要的地位，但是許多人在學了多年的數學之後，
往往在心中存有一個疑問：「學習數學到底有什麼用？」筆者記得陳之藩博士在
他的暢銷名著「劍河倒影」一書中，曾經談到英人李約瑟博士撰述的「東西方的
科學與哲學」中比較了中西科學，而且提到中國科學對西方的影響，並附有照片
或圖畫作為證明。陳博士在閱完該書之後，提出一個問題：「為什麼古代中國人
曾有那麼多的發明，卻沒有導出像歐洲近五百年的科學發展？」他的結論是：「
中國科學在整個發展過程中主要是為了『實用』，而歐洲近五百年來的科學發展
主要是為了『好奇』」。筆者認為這段結論值得深思。本來好奇心是與生俱來的
本性，孩提時代看到任何新鮮的事物總不免要問大人一句「是什麼？」「為什麼
？」但是隨著年紀的增長，我們小時候的好奇心都到那裡去了？到底是什麼使人
人都變得如此「現實」，凡事要先確定它「有用」才願意學習呢。

筆者並非不贊成講求數學的實用性。事實上，數學的起源本來就是用以解決
人類實際所遭遇的各類問題。例如幾何學起源於古埃及人希望在尼羅河氾濫之後
，能重新量出自己的土地面積。但是，如果隨時都是持著﹁實用﹂的尺度來衡量
，必然會使數學的發展大受局限。譬如我們看到任何動物，第一個念頭就是牠是
否能吃？如何烹調風味最佳？自然動物學就不易在國內蓬勃發展，而中國美食卻
傳遍世界了。

如果翻閱數學史，自然可以發現早期的數學結果相當簡陋，多屬「個案處理
」的形態，古希臘人把埃及人和巴比倫人的數學實際應用的結果，利用理論的探
討，歸納出許多數學理論，尤其是於幾何證明中採用演繹法，在數學思想的進展
立下一個嶄新的里程碑。數學由於實際需要才應運而生，加以理論化推廣後，又
回頭用於解決實際問題，如此循環不已，它的內涵日漸豐碩，分類愈分愈細，所
具解題的威力也越來越大。大家都知道「數學是科學之母」，許多人懷疑數學有
什麼用，意指數學對個人在日常生活上的用處。

數學的應用實有不同的層次，日常生活中或許以算術的加減乘除最實用; 事
實上，日常生活中還用到許多數學概念。例如西瓜豐收期，瓜農賣瓜每個一律若
干元，而且包甜，消費者必定會挑大的瓜。又如由甲地至乙地有各種交通工具，
窮人必定挑省錢的交通工具，趕時間的人自然搭最快的車，以求省時，這些都是
數學上求最通化的概念。尤其當問題變得複雜，就更需要求助於數學的理性分析
。由於這些問題並非日常生活所可能遭遇得到，因此這些高深數學對一般人來說
，似乎一無用處。

有人將數學分為短程的應用和長程的應用。所謂短程的應用是學了立刻可用
，如學了算術，上街買東西立即可用; 長程的應用則在發展的當時或許並不知道
有什麼用，事隔多年才發現它的用途。例如古希臘數學研究圓錐曲線論，當時並
沒有任何應用，事隔一千八百餘年，德國物理學家刻卜勒讀到這個理論，進而把
它們應用於光學和拋物線迴轉鏡面的研究，後來更進一步把行星軌道用橢圓來描
述，為牛頓的萬有引力理論奠定了基礎。又如布氏代數原先純然是邏輯理論的分
析：竟然在設計電算機時派上用場。

莊子逍遙遊中曾有一段故事：「有個宋人善於製造使手不龜裂的藥，他家世
代以漂洗絲絮為業。有位客人聽這種藥，願意出百金收買這個秘方。這個宋人召
集全家來商量說：『我家世代漂洗絲絮，只能得到微薄的工資渡日，現在只要賣
出這個秘方，就能得到百金，就賣了吧！客人得到祕方後就去遊說吳王。這時越
國侵吳，吳王派他將兵。冬天與越入水戰，大敗越軍，於是吳王劃地封賞他。同
樣是使手不龜裂的藥，有人只是用它漂洗絲絮，防止手的龜裂，有人都因此得到
封土』，這就是使用的方法不同吧！」有人說：「知識可以教導，智慧不可言傳
」。我們對數學也應持這種觀點，數學並非無用，端視使用者是否有應用的智慧
。所謂「運用之妙，存乎一心」，正是這個意思。
我們知道科學的內涵不但在於客觀知識的累積，更在於追求這些知識背後的
精神。數學中有冷靜的深思和邏輯的協調。我們學習數學，除了注重它對解決問
題的實用價值之外，更應厚植我們的欣賞力與好奇心，希望藉著它潛移默化之力
，使我們被緊緊壓縮在文明的重累之下的頭腦，活動起來，培養起自由奔放的想
像力與思考力，進而把握住充滿著夢想與希望的工作或生活方向。

本文作者，交通大學工業工程與管理系教授。