中5等比級數問題

a)
從觀察可以知道每個括號內的首項的次方都是三角形數，
而第n個括號的首項的次方就是第(n-1)個三角形數，即是(n-1)n/2，
因此，第n個括號內的首項是2^[(n-1)n/2]

另外，第(n+1)個括號內的首項是2^[n(n+1)/2]
因此第n個括號內的末項是第(n+1)個括號內的首項的前一項，即是
2^[n(n+1)/2 - 1]

b)
在第n個括號內，從a)部分可以首項為2^[(n-1)n/2]、末項為2^[n(n+1)/2 - 1]，這是一個等比數列，公比為2，且項數為n，故此所有項之和為：
2^[(n-1)n/2] * (2^n - 1) / (2 - 1)
= 2^[(n-1)n/2] * (2^n - 1)

c)
由於首n個括號內所有數是一個首項為1、公比為2、項數為n(n+1)/2的等比數列，故其和為：
(1)(2^[n(n+1)/2] - 1) / (2-1)
=2^[n(n+1)/2] - 1


希望可以幫倒你！^^

對於級數(1)+(2+2^2)+(2^3+2^4+2^5)+................求

a)第n個括號內的首項和沒(末)項

1st term = (2^0)
2nd term = (2^1+2^2)
3rd term = (2^3+2^4+2^5)
4th term = (2^6+2^7+2^8+2^9)
或者,
1st term = 2^0 * (2^0)
2nd term = 2^(0+1) * (2^0+2^1)
3rd term = 2^(0+1+2) * (2^0+2^1+2^2)
4th term = 2^(0+1+2+3) * (2^0+2^1+2^2+2^3)
......
nth term = 2^(0+1+2+......+n-1) * [2^0+2^1+2^2+2^3+......+2^(n-1)]
= 2^n(n-1)/2 * [2^0+2^1+2^2+2^3+......+2^(n-1)]
= 2^n(n-1)/2 + ...... + 2^[n(n-1)/2] * 2^(n-1)
= 2^n(n-1)/2 + ...... + 2^[(n)(n-1)^2] /2

當 n>1, 第n個括號內的首項 是2^n(n-1)/2 而末項則是2^[(n)(n-1)^2] /2

b)第n個括號內所有項之和
nth term =2^n(n-1)/2 * [2^0+2^1+2^2+2^3+......+2^(n-1)]

recall G.P. 總和的計算公式
Sn = a[(1+r+r^2+……+r^(n-1)]
=a(r^n - 1)/(r-1)

首項a =2^n(n-1)/2, 比級r = 2, 項數n = n
Sn = 2^n(n-1)/2 * (2^n - 1)/(2-1)
= [2^n(n-1)/2](2^n - 1)

所以第n個括號內所有項之和 是 [2^n(n-1)/2] (2^n - 1)

c)首n個括號內所有項之和
將所有括號拆開後得出一個最普通的比級數:
1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+.......... + 2^[(n)(n-1)^2] /2
首項a = 1, 比級r = 2, 項數n ={ [(n)(n-1)^2] /2 + 1}
代入公式
Sn = 2^ { [(n)(n-1)^2] /2 + 1} / (2-1)
= 2^ { [(n)(n-1)^2] /2 + 1}

所以首n個括號內所有項之和 是 2^ { [(n)(n-1)^2] /2 + 1}

2006-11-23 14:43:28 補充：
所以 n - 1 應是 n 1

2006-11-23 14:57:50 補充：
在計算 A.P. 三角形數之總和出現錯誤, 其公式應為n(n 1)/2 而不是 n(n-1)/2 所以修正後的答案應為a) n 1, 第n個括號內的首項 是2^n(n 1)/2 而末項則是2^[(n)(n^2-1)] /2b) 第n個括號內所有項之和 是 [2^n(n 1)/2] (2^n - 1)c) 首n個括號內所有項之和 是 2^ { [(n)(n^2-1)] /2 1}

a)從觀察可以知道每個括號內的首項的次方都是三角形數，
而第n個括號的首項的次方就是第(n-1)個三角形數，即是(n-1)n/2，
因此，第n個括號內的首項是2^[(n-1)n/2]
另外，第(n+1)個括號內的首項是2^[n(n+1)/2]
因此第n個括號內的末項是第(n+1)個括號內的首項的前一項，即是
2^[n(n+1)/2 - 1]

b)在第n個括號內，從a)部分可以首項為2^[(n-1)n/2]、末項為2^[n(n+1)/2 - 1]，這是一個等比數列，公比為2，且項數為n，故此所有項之和為：
2^[(n-1)n/2] * (2^n - 1) / (2 - 1)
= 2^[(n-1)n/2] * (2^n - 1)

c)由於首n個括號內所有數是一個首項為1、公比為2、項數為n(n+1)/2的等比數列，故其和為：
(1)(2^[n(n+1)/2] - 1) / (2-1)
=2^[n(n+1)/2] - 1