AM變率問題

假設正立方體邊長為 x cm，

正立方體平面對角線
= √[x² + x²]
= √[2x²]
= x√2 cm

假設正立方體對角線為 L cm
L = √[(x√2)² + x²]
L = √[2x² + x²]
L = √[3x²]
L = x√3 cm

根據「立方體的對角線長度以0.1cm/s的速率增加」得出
dL/dt = 0.1
dL/dt = 1/10
d[x√3]/dt = 1/10
√3dx/dt = 1/10
dx/dt = 1/[10√3]
dx/dt = √3/30 .................. (*)

根據「對角線的長度為30 cm」得出
x√3 = 30
x = 30/√3
x = 30√3/3
x = 10√3 .................... (**)

假設正立方體體積為 V cm³

V = (x)(x)(x)
V = x³ cm³

所以

dV/dt = d[x³]/dt
dV/dt = 3x²dx/dt
dV/dt = 3x²dx/dt
dV/dt = 3(10√3)²(√3/30) ............ 根據 (*) 及 (**)
dV/dt = 3(300)(√3/30)
dV/dt = 30√3

所以正立方體體積的變率 = 30√3 cm³/s

一正立方體的對角線長度以0.1cms^-1的速率增加.當對角線的長度為30CM時,試求正立方體體積的變率

設正立方體的對角線為 L，邊長為x，則
L^2 = x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2
x = L/√3

立方體的體積 V
V = x^3
V = (L/√3)^3
= L^3 / (3√3)

體積的變化
(dV / dt) = 3L^2 (dL / dt)/ (3√3)
= L^2 (dL / dt)/ √3
= 30^2 (0.1)/ √3
= 900x (0.1)/ √3
= 90 / √3
= 90√3 / 3
= 30√3