古埃及分數 ？

古埃及分數是不同的單位分數的和，就是分子為1，分母為各不相同的正整數。可以證明任何正有理數都能表達成這一個形式。

古埃及分數的表達形式不是唯一的，還未找到一個演算法總是給出最短的形式。

古埃及分數

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古埃及分數是不同的單位分數的和，就是分子為1，分母為各不相同的正整數。可以證明任何正有理數都能表達成這一個形式。





目錄[隱藏]

1 構造方法

1.1 貪婪演算法
1.2 Golomb演算法
1.3 二進制
1.4 分拆
1.5 Engel展開式
2 歷史



[編輯] 構造方法
古埃及分數的表達形式不是唯一的，還未找到一個演算法總是給出最短的形式。

[編輯] 貪婪演算法

參看貪婪演算法。

找出僅小於
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的最大單位分數。這個分數的分母的計法是：即用b除以a，捨去餘數，再加1。（如果沒有餘數，則r已是單位分數。）
把r減去單位分數，以這個新的、更小的r重覆步驟1。
例子：把
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/6/3/7638d9efb641726497ccd1e37a340b08.png
轉成單位分數。


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/5/9/959e1f1acda816c2f16fe80051a72c17.png
和一個餘數，所以第1個單位分數是\frac{1}{2}；

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/d/6/dd6f500b1f164d85a35717e37841ff1a.png
；

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/3/c/e3c84416f9085bb72f7db037d93dce15.png
；

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/5/2/f52356e4f1dd985bf94127d267ab1c24.png
；

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/9/3/093e3c7278d90c1a03354e5b4a1ea888.png
；

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/3/8/a38b2eb62ef6f074a986b138c49d78ff.png
已是單位分數。
所以結果是：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/f/8/2f88d410271a8a6d881f4f447347bd8d.png
。
詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特和斐波那契都提出過以上的方法。

[編輯] Golomb演算法
這個演算法是基於貝祖等式的：當a,b互質，ax − by = 1有無窮多對正整數解(x,y)。
選取最小的正整數解(m,n)。取單位分數分母為bm，重覆步驟。
以
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/6/5/7/65721e4c26b1589f2a4fa6638d7b76a4.png
為例：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/2/a/f2a49344e1d4cdd3b059d3195dc7bbd4.png
，所以第1個單位分數是\frac{1}{30}；

圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/5/9/b/59b8f2bf7c03535e434bb31ee5c3ac49.png
；
第3個單位分數是
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/3/d/c/3dcde285c447d48b6bc42bb636112d6c.png
。

[編輯] 二進制
最基本的方法就是將分數寫成二進制數，便能將該分數寫成分母為二的冪的單位分數之和。
換個說法就是重覆求最小的正整數n使得 \frac{1}{2^n}" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/8/e/68e9d84003c0ef1674eb53fa5c330d66.png">。
這個方法的效率很低。
一個改善之道是選取正整數n使得
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/8/f/78fe37e626754f40606a2df52a09996f.png
寫成二進制數。
例如：
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/5/7/a573656b2c98365b5eab770e0594f2f3.png
：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/9/c/d9cb55a0f6a9c9a78c4ca190e922a524.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/c/3/9c3a1f9863ac5bb335c7c208a47b9ffe.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/c/2/7c20d07b63fa219ba6062aedcc310e22.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/2/1/6/216f782da68e08c35a025b1dc91b501e.png


[編輯] 分拆
將一個分數表示成未必相異的單位分數之和。若有兩個單位分數相同，可以用以下其中一種處理方式：

若它們的分母是雙數，便用它們的和取代；若它們的分母是單數，設它們的分母為2k − 1，用
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/6/c/f6c74d21957197d53bcb731ae84aadaf.png
取代。
設它們的分母為p，用
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/f/1/e/f1e5dca5c3bceb0ae99e7e05a5243b17.png
取代。

[編輯] Engel展開式

參看Engel展開式。

[編輯] 歷史
數學史家有時論述代數的發展分為三個基本階段：

文字代數：其問題以古代數學家所用的文字表述；
省文代數：簡化問題中一些字詞，以幫助理解；
符號代數：以符號代表運算符和運算元，使更容易理解。
未知數以符號形式通常記為。我們從古代埃及文稿得知，埃及祭司和書記採用文字代數的方式，以一個解為「堆」或「集」的字「阿哈」來表示未知數。
這是現存在倫敦的大英博物館的萊因德數學紙草書（第二中間期）所載，其中一個阿哈問題的翻譯：
「問題24： 一個數量和它的\frac{1}{7}加起來是19。這數量是什麼？」
「假設是7。7和7的
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/4/ef419f44bb02c1a2fb896dae6f760289.png
是8。8要乘上多少倍以得到19，7也要乘上這樣多倍以得到所要的數量。」
以現在的符號形式，
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/7/c/a/7ca47f68376e824ccb3c88e21e3ef516.png
。
注意問題中的分數。古埃及人以單位分數計算，如
圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/0/0/9/009c986a5be97146643c4f142dbd44fa.png
。
一個形狀如開口的象形文字是表記分數的符號，這「開口」下有象形文字的數字就是分數的分母。












圖片參考：http://zh.wikipedia.org/w/extensions/wikihiero/img/hiero_D21.png


圖片參考：http://zh.wikipedia.org/w/extensions/wikihiero/img/hiero_Z1.png


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圖片參考：http://zh.wikipedia.org/w/extensions/wikihiero/img/hiero_V20.png


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/f/8/9f8598fdf40bd693cdad6aa312c2376f.png

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