什麼是四色定理??????????

四色定理指出每個可以畫出來的地圖都可以至多用4種顏色來上色，而且沒有兩個相接的區域會是相同的顏色。被稱為相接的兩個區域是指他們共有一段邊界，而不是一個點。
這一定理最初是由Francis Guthrie在1853年提出的猜想。很明顯，3種顏色不會滿足條件，而且也不難證明5種顏色滿足條件且綽綽有余。但是，直到1977年四色猜想才最終由Kenneth Appel 和Wolfgang Haken證明。他們得到了J. Koch在演算法工作上的支持。
證明方法將地圖上的無限種可能情況減少為1,936種狀態（稍後減少為1,476種），這些狀態由電腦一個挨一個的進行檢查。這一工作由不同的程序和電腦獨立的進行了複檢。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一種類似的證明方法，檢查了633種特殊的情況。這一新證明也使用了電腦，如果由人工來檢查的話是不切實際的。
四色定理是第一個主要由電腦證明的理論，這一證明並不被所有的數學家接受，因為它不能由人工直接驗證。最終，人們必須對電腦編譯的正確性以及運行這一程序的硬件設備充分信任。參見實驗數學。
缺乏數學應有的規範成為了另一個方面；以至於有人這樣評論「一個好的數學證明應當像一首詩——而這純粹是一本電話簿！」
雖然四色定理證明了任何地圖可以只用四個顏色著色，但是這個結論對於現實上的應用卻相當有限。一方面，現實中的地圖常會出現兩個不連通的區域屬於同一個國家的情況（例如美國的阿拉斯加州），而製作地圖時我們仍會要求這兩個區域被塗上同樣的顏色，在這種情況下，四個顏色將會是不夠用的。

取自"http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%9B%9B%E8%89%B2%E5%AE%9A%E7%90%86&variant=zh-hk"

2006-11-21 19:10:45 補充：
這個「四色定理」也是首個倚靠機器來證明的重要數學定理，因此很難由其他數學家直接檢證，所以初時數學家也對此有所懷疑。雖然如此，但在1977年的兩篇有關的論文卻已能說服所有人這個四色定理的真確性。

2006-11-21 19:11:27 補充：
　話說在1852年，有一位名叫法蘭西斯．古特里（Francis Guthrie）的大學生，他發現每張地圖上的國家總是可以用四種顏色來著色，使相鄰國家的顏色都不相同。當他有這樣的發現時，便立即向他讀數學的哥哥費特里克．古特里（Frederick Guthrie）請教這個問題的證明方法，但費特里克卻回答不到。費特里克因而向他的老師德．摩根（Augustus de Morgan）請教，可惜德．摩根也無法判定這個猜想的真確性。及後德．摩根便致函他在三一學院的好友哈密頓（Hamilton），他相信哈密頓可以給他答案，怎料問題卻不被哈密頓注意到。

2006-11-21 19:11:47 補充：
　德．摩根曾對這個猜想作出較深入的思考，他證明了：五個國家不能每個都和其餘的相鄰。這個結果使他相信可能真的不需要用五種顏色來構作地圖，可是這個結果卻不足以證明四色猜想。因為假如六個國家中沒有四個國家是每個都和其他三個相鄰，就不需要四種顏色著色了，但事實上仍然要用四種顏色著色的。所以四色猜想是不能用相鄰國家的數目的最大值來證明。

2006-11-21 19:12:27 補充：
　雖然肯普的證明有錯，但仍有價值，因為在他的證明中包含了引導到正確證明的絕大部分基本概念，其中的思考路線可用來得到新的成果，當中較明顯的是可以得出「五色定理」的證明。　　希伍德畢生研究四色猜想，雖然最後也解決不到，但他在這方面的貢獻亦不少，當中包括了「五色定理」或稱「希伍德定理」、有限制下的四色著色情況，以及更重要的一般閉曲面著色問題。　　「五色定理」是四色猜想的減弱命題，而難度方面也就天淵之別。要證明「五色定理」只須要初等拓撲方法便可，主要使用「歐拉定理」及「約當曲線定理」，而證明方法亦不難明白。

2006-11-21 19:12:58 補充：
　而在1898年希伍德證明了，如果地圖上每個區域的邊的數目都是3的倍數時，那麼這個地圖便是可以四色著色了。　　至於一般閉曲面的著色問題，希伍德先證明了同胚（homeomorphic）於環面（torus）的閉曲面的地圖，即只有一個「洞」的閉曲面地圖，最多只需要七種顏色著色。及後他推測著色的顏色數目與閉曲面的洞的數目有關，並有以下的關係：Mp = 7 Sqrt(1 48p) ─────── 2

2006-11-21 19:13:18 補充：
　　肯普曾證明每一張正規地圖中至少有一個具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家多於五個鄰國的平面正規地圖，換句話說，由兩個、三個、四個及五個鄰國組成的一組構形是不可避免的，亦即每張正規地圖至少必須含有這四種構形中的一個。另一方面，肯普也引入了所謂可約構形，即如果構形是不可能出現在極小五色圖中，這個構形便稱為可約構形。以上的兩個概便成為日後解決四色猜想的基石。因為從這兩點，數學家便意識到，只要求出世上所有可約構形的不可避免組，那麼四色猜想也就證明了。但數學家亦發現要證明大的構形可約，是需要檢查大量的細節，似乎只有借助電腦的幫助方可完成。

你可知道一幅地圖最少可以用多少種顏色來製作呢？在這裡所指的地圖只有一個條件，便是在相鄰國家的顏色必不相同，而至於海洋、冰山及文字等的顏色是不計在內的。答案是四種顏色，而這答案是從人的經驗中歸納而得的，至於它的「證明」卻要延綿了百多年才得到結果，且是用了一個可能是人不能解決的方法。


　　話說在1852年，有一位名叫法蘭西斯．古特里（Francis Guthrie）的大學生，他發現每張地圖上的國家總是可以用四種顏色來著色，使相鄰國家的顏色都不相同。當他有這樣的發現時，便立即向他讀數學的哥哥費特里克．古特里（Frederick Guthrie）請教這個問題的證明方法，但費特里克卻回答不到。費特里克因而向他的老師德．摩根（Augustus de Morgan）請教，可惜德．摩根也無法判定這個猜想的真確性。及後德．摩根便致函他在三一學院的好友哈密頓（Hamilton），他相信哈密頓可以給他答案，怎料問題卻不被哈密頓注意到。

　　德．摩根曾對這個猜想作出較深入的思考，他證明了：五個國家不能每個都和其餘的相鄰。這個結果使他相信可能真的不需要用五種顏色來構作地圖，可是這個結果卻不足以證明四色猜想。因為假如六個國家中沒有四個國家是每個都和其他三個相鄰，就不需要四種顏色著色了，但事實上仍然要用四種顏色著色的。所以四色猜想是不能用相鄰國家的數目的最大值來證明。




　　1878年，數學家凱利（Cayley）在倫敦數學學會及皇家地理學會提出了這個四色猜想，四色猜想才開始引起廣泛的關注。但自此之後，各國所有數學中心和全世界所有主要數學雜誌都不斷收到四色猜想的錯誤證明。其中律師出身的肯普（Alfred Bray Kempe）在1879年發表了有關四色猜想的證明，並在1880年發表第二篇的論文。最初，凱利及其他數學家也發現不到有關論證的破綻，直至1890年，年輕數學家希伍德（Percy John Heawood）發現了肯普的漏洞，並把錯誤報告給倫敦數學學會，而他卻認為自己不能把這些錯誤修正過來。其實在1880年，肯普的第二篇論文也吸引到另一位自然哲學的學者台特（Peter Guthrie Tait），他也曾發表了一些有關四色猜想的論文，當中也不乏新的意念，可惜也有不少的漏洞，換句話說，四色猜想仍未可被證明。
雖然肯普的證明有錯，但仍有價值，因為在他的證明中包含了引導到正確證明的絕大部分基本概念，其中的思考路線可用來得到新的成果，當中較明顯的是可以得出「五色定理」的證明。


　　希伍德畢生研究四色猜想，雖然最後也解決不到，但他在這方面的貢獻亦不少，當中包括了「五色定理」或稱「希伍德定理」、有限制下的四色著色情況，以及更重要的一般閉曲面著色問題。

　　「五色定理」是四色猜想的減弱命題，而難度方面也就天淵之別。要證明「五色定理」只須要初等拓撲方法便可，主要使用「歐拉定理」及「約當曲線定理」，而證明方法亦不難明白。

　　而在1898年希伍德證明了，如果地圖上每個區域的邊的數目都是3的倍數時，那麼這個地圖便是可以四色著色了。

　　至於一般閉曲面的著色問題，希伍德先證明了同胚（homeomorphic）於環面（torus）的閉曲面的地圖，即只有一個「洞」的閉曲面地圖，最多只需要七種顏色著色。及後他推測著色的顏色數目與閉曲面的洞的數目有關，並有以下的關係：

Mp = 7+Sqrt(1+48p)
───────
2

其中p是閉曲面的洞的數目、Sqrt(x)是x的平方根，而顏色的數目便是Mp的整數部分。特別地，如果p=1便是環面，Mp=7；而p=0便是球面，Mp=4。後來在1974年數學家林格爾對希伍德的推測在p>0的情況作了完整的證明，也就是說，還沒有證出四色猜想。


　　肯普曾證明每一張正規地圖中至少有一個具有兩個、三個、四個或五個鄰國，不存在每個國家多於五個鄰國的平面正規地圖，換句話說，由兩個、三個、四個及五個鄰國組成的一組構形是不可避免的，亦即每張正規地圖至少必須含有這四種構形中的一個。另一方面，肯普也引入了所謂可約構形，即如果構形是不可能出現在極小五色圖中，這個構形便稱為可約構形。以上的兩個概便成為日後解決四色猜想的基石。因為從這兩點，數學家便意識到，只要求出世上所有可約構形的不可避免組，那麼四色猜想也就證明了。但數學家亦發現要證明大的構形可約，是需要檢查大量的細節，似乎只有借助電腦的幫助方可完成。
從此數學家們除了希望用傳統方法證明以外，也開始向著機械程式的驗證著眼，用以窮盡所有的可能性。1913年，美國數學家伯克霍夫（George David Birkhoff）利用肯普的想法和自己的新技巧，發展了一套能夠證明大某些大的構形的可約性的方法。而數學家希什（Heinrich Heesch）宣稱可用尋找可約構形的不可避免組來證明四色猜想。在1950年，希什估計這樣的圖約有一萬個，但在當時要檢查所有這些圖似是不可能。

　　隨著電腦技述的進步，以及希什的努力，他利用伯克霍夫所發展的原理，編訂了程序準備攻克這個猜想。希什引進了一個「放電」（discharging）的概念來輔助證明，但仍然面對一定的困難，因為要計算的數量可能很大。1970年數學家黑肯（Wolfgang Haken）作出如下的判斷：肯定不會對四色猜想給出一個非機器證。但在沒有更為有力的計算機之前能否用計算機給出證明也存有懷疑。

　　1972年，黑肯和阿佩爾（Kenneth Appel）設計了一份計算程序，它能作出特殊類型的「放電」過程，還能給出從最重要的情況得出的構形作為輸出。經過不斷的研究改進及修改，最後找到一個可行的程序，但實際執行這個程序將會複雜到甚麼程度，還是一個疑問。在1976年1月6日，他們確定了一些細節，設計了適當的程序，利用三部電腦，運行了1200多個小時，其「放電」過程大約包括500個特殊「放電」情況，需要用人工分析約10000個頂點帶電的鄰域，最後找出2000多個構形需要用機器分析其可約性。由這些圖便能證明這個「四色猜想」，將之變為「四色定理」，解決了這個困擾許多數學家一百多年的難題。


　　這個「四色定理」也是首個倚靠機器來證明的重要數學定理，因此很難由其他數學家直接檢證，所以初時數學家也對此有所懷疑。雖然如此，但在1977年的兩篇有關的論文卻已能說服所有人這個四色定理的真確性。

你可以到http://www.mikekong.net/Maths/maths-frame.php查看!

四色定理指出每個可以畫出來的地圖都可以至多用4種顏色來上色，而且沒有兩個相接的區域會是相同的顏色。被稱為相接的兩個區域是指他們共有一段邊界，而不是一個點。

這一定理最初是由Francis Guthrie在1853年提出的猜想。很明顯，3種顏色不會滿足條件，而且也不難證明5種顏色滿足條件且綽綽有余。但是，直到1977年四色猜想才最終由Kenneth Appel 和Wolfgang Haken證明。他們得到了J. Koch在演算法工作上的支持。

證明方法將地圖上的無限種可能情況減少為1,936種狀態（稍後減少為1,476種），這些狀態由電腦一個挨一個的進行檢查。這一工作由不同的程序和電腦獨立的進行了複檢。在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一種類似的證明方法，檢查了633種特殊的情況。這一新證明也使用了電腦，如果由人工來檢查的話是不切實際的。

四色定理是第一個主要由電腦證明的理論，這一證明並不被所有的數學家接受，因為它不能由人工直接驗證。最終，人們必須對電腦編譯的正確性以及運行這一程序的硬體設備充分信任。參見實驗數學。

缺乏數學應有的規範成為了另一個方面；以至於有人這樣評論「一個好的數學證明應當像一首詩——而這純粹是一本電話簿！」

雖然四色定理證明了任何地圖可以只用四個顏色著色，但是這個結論對於現實上的應用卻相當有限。一方面，現實中的地圖常會出現兩個不連通的區域屬於同一個國家的情況（例如美國的阿拉斯加州），而製作地圖時我們仍會要求這兩個區域被塗上同樣的顏色，在這種情況下，四個顏色將會是不夠用的。

四色定理指出每個可以畫出來的地圖都可以至多用4種顏色來上色