請給我圓周率(pi)的歷史。
回答 (4)
2006-11-21 3:40 am
✔ 最佳答案
圓周率 = 圓形的周長/圓形的直徑 符號π是第十六個希臘字母，到1706年才開始以它代表圓周率的。
π＝3.141592653589793238 46264338327950288419 71693993751058209749 44592307816406286208 99862803482534211706 79821480865132823066 47
09384460955058223172 53594081284811174502 48111745028410270193 85211055596446229489 54930381964428810975 66593344612847564823
在20000以上(目前)
圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比 （ratio of the circumference of a circle to the diameter） 。用符號π表示。中國古代有圓率、圜率、周等名稱。
古希臘歐幾里得《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數，中國古算書《周髀算經》（ 約公元前2世紀）中有「徑一而周三」的記載，也認為圓周率是常數。歷史上曾採用過圓周率的多種近似值 ，早期大都是通過實驗而得到的結果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取π=（）4≒3.1604 。第一個用科學方法尋求圓周率數值的人是阿基米德 ，他在《圓的度量》（公元前3世紀）中用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形 開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到3<π<3 ，開創了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或 阿基米德方法），得出精確到小數點後兩位的π值。
中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時（263年）只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確 到兩位小數的π值，他的方法被後人稱為割圓術。南北朝時代的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點後 7位的π值（約5世紀下半葉），給出不足近似值 3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似 分數值，密率355/113和約率22/7。其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發表於荷蘭工 程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數 值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力， 於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。
1579年法國數學家韋達給出π的第一個解析表達式 (^=開方)
兀/2=1/^2/1*1/2+1/2^*^1/2^*^1/2+1/2^+1/2^1/2....
此後，無窮乘積式、無窮連分數、無窮級數等各種π 值表達式紛紛出現，π值計算精度也迅速增加。1706 年英國數學家梅欽計算π值突破100位小數大關。1873 年另一位英國數學家尚可斯將π值計算到小數點後707位，可惜他的結果從528位起是錯的。到1948年英國的弗 格森和美國的倫奇共同發表了π的808位小數值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。
電子計算機的出現使π值計算有了突飛猛進的發展。1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室首 次用計算機（ENIAC）計算π值，一下子就算到2037位小數，突破了千位數。1989年美國哥倫比亞大學研 究人員用克雷－2型和IBM－VF型巨型電子計算機計算出 π值小數點後4.8億位數，後又繼續算到小數點後10.1 億位數，創下新的紀錄。
除π的數值計算外，它的性質探討也吸引了眾多數學家。1761年瑞士數學家蘭伯特第一個証明π是無理數 。1794年法國數學家勒讓德又証明了π2也是無理數。到1882年德國數學家林德曼首次証明了π是 超越數，由此否定了困惑人們兩千多年的「化圓為方」尺規作圖問題。還有人對π的特徵及與其它數字的聯系 進行研究。如1929年蘇聯數學家格爾豐德証明了eπ 是超越數等等。
圓周率的發展
古代
中國周髀算經
西方聖經 周一徑三
圓周率 = 3
元前三世紀 阿基米德
(希臘) 1. 圓面積等於分別以半圓周和徑為邊長的矩形的面積
2. 圓面積與以直徑為長的正方形面積之比為 11:14
3. 圓的周長與直徑之比小於 3 1/7 ,大於3 10/71
三世紀 劉徽
(中國)
用割圓術得圓周率＝3.1416稱為 "徽率"
五世紀 祖沖之
(中國)
1. 3.1415926 < 圓周率 < 3.1415927
2. 約率 ＝ 22/7
3. 密率 ＝ 355/113
1596年 魯道爾夫
(荷蘭)
正確計萛得 p 的 35 位數字
1579年 韋達
(法國)
"韋達公式" 以級數無限項乘積表示 p
1600年 威廉.奧托蘭特
(英國)
用p/σ表示圓周率
π是希臘文圓周的第一個字母
σ是希臘文直徑的第一個字母
1655年 渥里斯
(英國) 開創利用無窮級數求 p 的先例
1706年 馬淇
(英國)
"馬淇公式" 計算出 p 的 100 位數字
1706年 瓊斯
(英國) 首先用 p 表示圓周率
1789年 喬治.威加
(英國) 準確計算p 至126 位
1841年 魯德福特
(英國)
準確計算 p 至 152 位
1847年 克勞森
(英國)
準確計算 p 至 248 位
1873年 威廉.謝克斯
(英國) 準確計算 p 至 527 位
1948年 費格森和雷恩奇
(英國, 美國) 準確計算 p 至 808 位
1949年 賴脫威遜
(美國)
用計算機將 p 計算到 2034 位
現代 用電子計算機可將 p 計算到億位
參考資料:
http://hk.knowledge.yahoo.com/question/?qid=7006111401055
2006-11-22 4:15 am
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早在公元前二千多年，古代的巴比倫、埃及、中國和以色列人已先後發現了一個事實：不管圓的大小為何，它的圓周長除以它的直徑長會是一個不變的數值 (常數) 。
中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。
聖經 (約公元前 500 年)：在《列王紀上篇》第七章二十三節，也記載了有關圓周率的數值：「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、高五肘、徑十肘、圍三十肘」 (這是描述所羅門王神殿內祭壇的規格)，亦即當時的人也認為 p = 3。
到了魏晉（約 263 年） ，數學家劉徽是中國數學史上第一個為圓周率定一個有系統及紮實的計算方法，他發展了一個新的圓周率計算方法－「割圓術」：
他先作一個半徑為 10 個單位的圓，再由它的內接正六邊形出發，運用畢氏定理，求得六邊形的面積，這為圓的下限；他再延伸得長方形（如圖 3 示），求得圓面積的上限。
繼劉徽後約二百年，南北朝的祖沖之（429 - 500 年）在數學上也有傑出的成就。在《隋書．律曆志》中記載：
「宋末，南徐從事史祖沖之更開密法，以圓徑一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間」
（這顯示當時的中國人已有位值的概念）。祖沖之可能運用了劉徽的「割圓術」及他無比的耐性與堅持（當時並沒有算盤等計算工具，只能靠小竹子幫助計算，但他實質的計算方法則無從確定），算到內接 24576 邊形，求得：
3.1415926 < p < 3.1415927
圓周率的值準確至小數後 7 個位，後稱 3.1415926 為「祖率」，這個準確至小數後 7 個位的圓周率值的紀錄在約一千年後才被人打破。
另外，祖沖之更取 p = 22/7（= 3.14...）作為「約率」；p = 355/113（= 3.1415929） 作為「密率」，以表示圓周率的近似值。
其實，第一個發現 22/7 為 p 的近似值的是阿基米德；至於 355/113 ，則要在約一千年後，才由德國數學家鄂圖（Valentin Otho）在公元 1573 年求出。這些都標誌著古代中國文明發展的卓越成就。
荷蘭數學家魯道爾夫萬科倫（Ludolph Van Ceulen，1540 - 1610 年）在三十歲開始計算圓周率的值，在 1596 年，他採用阿基米德的方法，以無比的毅力和耐力計算到正 60 ´ 233 邊形，得出準確至二十個小數位的 p 值；直至他臨終的一年（1610 年），他不厭其煩的計算繁複的乘法、除法和平方根，最後計算到正 262 邊形，得出了三十五個小數位的 p 值，可算是破了人類筆算的極限。故在德國、荷蘭的一些數學教科書，圓周率又被稱為「魯道爾夫數」。
在 1949 年，里特韋斯納（George Reitwiesner）、馮紐曼 （John von Neumann）和梅卓普利斯（N. C. Metropolis）利用在 1948 年美國製造的 ENIAC （電子數字求積器和計算機，Electronic Numerical Integrator and Computer），運用梅琴的反正切級數計算圓周率的值，花了 70 小時，計算出 2037 個小數位的 p 值。
p 值的位數急升！！！
法國的弗朗索瓦裘紐斯（Francois Genuys），用了巴黎的 IBM 704 電腦，在 40 秒內計算到 707 個小數位的 p 值；後在 1958 年，更利用梅琴的級數，在 100 分鐘內計算到 10000 個小數位的 p 值，令 p 值第一次達到一萬大關。在 1961 年 7 月 29 日，丹尼爾尚克斯利用 IBM 7090 電腦計算到 100265 個小數位的 p 值，突破十萬大關。在 1973 年，紀堯德和布依爾利用巴黎的 CDC 7600 電腦，在約廿三小時內，求得超過一百萬個小數位的 p 值……
及後至今，數學家們仍努力尋找能更有效計算圓周率值的方法和公式，朝著找出更多小數位、更準確的 p 值，及找到圓周率小數點後數字的規律出發。
人們追尋圓周率 p 的歷史至今已有四千年，由發現圓周和直徑的比為一常數，進而以多邊形迫近圓的方法求 p 值，轉而發現更多計算及表示 p 的公式、級數……再隨著電腦的發明與科技的發展，圓周率值的位數得以突飛猛進。
其實，十個小數位的 p 值已足已應付日常及工程所需的計算。現在， p 值多位計算的實際用途只是作測量新型電腦的優良程度，但為何人們仍對 p 值鍥而不捨的追尋？相信是因為數學家們對有無限小數位的 p 都抱有好奇心，希望解開幾千年來仍未有人解到的圓周率之謎：「究竟人們可計算到幾多個小數位的 p 值？」、「常數 p 的數字究竟有沒有甚麼規律可尋？」．．．為了創出新的紀錄和挑戰自己及人類的極限，人們仍願意付上時間和精神，去繼續追尋「無限、奇妙的 p」，感受並欣賞數學的美。
2006-11-21 20:16:46 補充：
p=圓周率
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早在公元前二千多年，古代的巴比倫、埃及、中國和以色列人已先後發現了一個事實：不管圓的大小為何，它的圓周長除以它的直徑長會是一個不變的數值 (常數) 。
中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。
聖經 (約公元前 500 年)：在《列王紀上篇》第七章二十三節，也記載了有關圓周率的數值：「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、高五肘、徑十肘、圍三十肘」 (這是描述所羅門王神殿內祭壇的規格)，亦即當時的人也認為 p = 3。
到了魏晉（約 263 年） ，數學家劉徽是中國數學史上第一個為圓周率定一個有系統及紮實的計算方法，他發展了一個新的圓周率計算方法－「割圓術」：
他先作一個半徑為 10 個單位的圓，再由它的內接正六邊形出發，運用畢氏定理，求得六邊形的面積，這為圓的下限；他再延伸得長方形（如圖 3 示），求得圓面積的上限。
繼劉徽後約二百年，南北朝的祖沖之（429 - 500 年）在數學上也有傑出的成就。在《隋書．律曆志》中記載：
「宋末，南徐從事史祖沖之更開密法，以圓徑一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間」
（這顯示當時的中國人已有位值的概念）。祖沖之可能運用了劉徽的「割圓術」及他無比的耐性與堅持（當時並沒有算盤等計算工具，只能靠小竹子幫助計算，但他實質的計算方法則無從確定），算到內接 24576 邊形，求得：
3.1415926 < p < 3.1415927
圓周率的值準確至小數後 7 個位，後稱 3.1415926 為「祖率」，這個準確至小數後 7 個位的圓周率值的紀錄在約一千年後才被人打破。
另外，祖沖之更取 p = 22/7（= 3.14...）作為「約率」；p = 355/113（= 3.1415929） 作為「密率」，以表示圓周率的近似值。
其實，第一個發現 22/7 為 p 的近似值的是阿基米德；至於 355/113 ，則要在約一千年後，才由德國數學家鄂圖（Valentin Otho）在公元 1573 年求出。這些都標誌著古代中國文明發展的卓越成就。
荷蘭數學家魯道爾夫萬科倫（Ludolph Van Ceulen，1540 - 1610 年）在三十歲開始計算圓周率的值，在 1596 年，他採用阿基米德的方法，以無比的毅力和耐力計算到正 60 ´ 233 邊形，得出準確至二十個小數位的 p 值；直至他臨終的一年（1610 年），他不厭其煩的計算繁複的乘法、除法和平方根，最後計算到正 262 邊形，得出了三十五個小數位的 p 值，可算是破了人類筆算的極限。故在德國、荷蘭的一些數學教科書，圓周率又被稱為「魯道爾夫數」。
在 1949 年，里特韋斯納（George Reitwiesner）、馮紐曼 （John von Neumann）和梅卓普利斯（N. C. Metropolis）利用在 1948 年美國製造的 ENIAC （電子數字求積器和計算機，Electronic Numerical Integrator and Computer），運用梅琴的反正切級數計算圓周率的值，花了 70 小時，計算出 2037 個小數位的 p 值。
p 值的位數急升！！！
法國的弗朗索瓦裘紐斯（Francois Genuys），用了巴黎的 IBM 704 電腦，在 40 秒內計算到 707 個小數位的 p 值；後在 1958 年，更利用梅琴的級數，在 100 分鐘內計算到 10000 個小數位的 p 值，令 p 值第一次達到一萬大關。在 1961 年 7 月 29 日，丹尼爾尚克斯利用 IBM 7090 電腦計算到 100265 個小數位的 p 值，突破十萬大關。在 1973 年，紀堯德和布依爾利用巴黎的 CDC 7600 電腦，在約廿三小時內，求得超過一百萬個小數位的 p 值……
及後至今，數學家們仍努力尋找能更有效計算圓周率值的方法和公式，朝著找出更多小數位、更準確的 p 值，及找到圓周率小數點後數字的規律出發。
人們追尋圓周率 p 的歷史至今已有四千年，由發現圓周和直徑的比為一常數，進而以多邊形迫近圓的方法求 p 值，轉而發現更多計算及表示 p 的公式、級數……再隨著電腦的發明與科技的發展，圓周率值的位數得以突飛猛進。
其實，十個小數位的 p 值已足已應付日常及工程所需的計算。現在， p 值多位計算的實際用途只是作測量新型電腦的優良程度，但為何人們仍對 p 值鍥而不捨的追尋？相信是因為數學家們對有無限小數位的 p 都抱有好奇心，希望解開幾千年來仍未有人解到的圓周率之謎：「究竟人們可計算到幾多個小數位的 p 值？」、「常數 p 的數字究竟有沒有甚麼規律可尋？」．．．為了創出新的紀錄和挑戰自己及人類的極限，人們仍願意付上時間和精神，去繼續追尋「無限、奇妙的 p」，感受並欣賞數學的美。
2006-11-21 20:16:46 補充：
p=圓周率
2006-11-21 3:46 am
π 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或 已足夠，但工程學常利用 3.1416 （5個有效數字） 或 3.14159 （6個有效數字）。至於密率 則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。
實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。
幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎 與 之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。
分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：
其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。
計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre 演算法或 Borweins 演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent 演算法。
第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立 超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：
(K. Takano, 1982年)
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：
以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。請參考 Bailey's website 相關程序。
其它計算圓周率的方法包括：
(Ramanujan)
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)
年表
日期 計算者 π的值
(世界紀錄用粗體表示)
前20世紀 巴比倫人 25/8 = 3.125
前20世紀 埃及人Rhind Papyrus (16/9)² = 3.160493...
前12世紀 中國 3
前6世紀中 聖經列王記上7章23節 3
前434年 阿那克薩哥拉 嘗試通過標尺作圖來化圓為方
前3世紀 阿基米得 223/71 < π < 22/7
(3.140845... < π < 3.142857...)
211875/67441 = 3.14163...
20 BC Vitruvius 25/8 = 3.125
130年 張衡 √10 = 3.162277...
150年 托勒密 377/120 = 3.141666...
250年 王蕃 142/45 = 3.155555...
263年 劉徽 3.14159
480年 祖沖之 3.1415926 < π < 3.1415927
499年 Aryabhatta 62832/20000 = 3.1416
598年 Brahmagupta √10 = 3.162277...
800年 花拉子密 3.1416
12世紀 Bhaskara 3.14156
1220年 比薩的李奧納多 3.141818
1400年 Madhava 3.1415926359
以後的紀錄都僅記錄多少位小數點後而不出實際值
1424年 Jamshid Masud Al Kashi 16位小數
1573年 Valenthus Otho 6位小數
1593年 Francois Viete 9位小數
1593年 Adriaen van Roomen 15位小數
1596年 Ludolph van Ceulen 20位小數
1615年 Ludolph van Ceulen 32位小數
1621年 Willebrord Snell (Snellius), Van Ceulen 的學生 35位小數
1665年 牛頓 16位小數
1699年 Abraham Sharp 71位小數
1700年 Seki Kowa 10位小數
1706年 John Machin 100位小數
1706年 William Jones 引入希臘字母 π
1730年 Kamata 25位小數
1719年 De Lagny 計算了 127 個小數字，但並非全部是正確的 112位小數
1723年 Takebe 41位小數
1734年 萊昂哈德•歐拉 引入希臘字母 π 並肯定其普及性
1739年 Matsunaga 50位小數
1761年 Johann Heinrich Lambert 證明 π 是無理數
1775年 歐拉指出 π 是超越數的可能性
1789年 Jurij Vega 計算了 140 個小數字，但並非全部是正確的 137位小數
1794年 Adrien-Marie Legendre 證明 π² 是無理數（則 π 也是無理數），並提及 π 是超越數的可能性
1841年 Rutherford 計算了 208 個小數字，但並非全部是正確的 152位小數
1844年 Zacharias Dase 及 Strassnitzky 200位小數
1847年 Thomas Clausen 248位小數
1853年 Lehmann 261位小數
1853年 Rutherford 440位小數
1853年 William Shanks 527位小數
1855年 Richter 500位小數
1874年 William Shanks耗費 15 年計算了 707 個小數字，可惜1946年D. F. Ferguson發現其結果非全對 527位小數
1882年 Lindemann 證明 π 是超越數（Lindemann-Weierstrass 定理）
1946年 D. F. Ferguson 使用桌上計算器 620位小數
1947年 710位小數
1947年 808位小數
1949年 J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用電腦（ENIAC）計算 π，以後的記錄都用電腦來計算的 2,037位小數
1953年 Mahler證明 π 不是Liouville 數
1955年 J. W. Wrench, Jr, 及 L. R. Smith 3,089位小數
1961年 100,000位小數
1966年 250,000位小數
1967年 500,000位小數
1974年 1,000,000位小數
1992年 2,180,000,000位小數
1995年 金田康正 > 6,000,000,000位小數
1999年 金田康正和Takahashi > 206,000,000,000位小數
2002年 金田康正的隊伍 > 1,241,100,000,000 位小數
這就是圓周率(π) 的計算及歷史
由於 π 的超越性，所以只能以近似值的方法計算 π。對於一般應用 3.14 或 已足夠，但工程學常利用 3.1416 （5個有效數字） 或 3.14159 （6個有效數字）。至於密率 則是易於記憶，精確至7位有效數字的分數。
實驗時期
中國古籍云：『周三徑一』，意即 π=3。公元前17世紀的埃及古籍《阿美斯紙草書》（Ahmes，又稱「阿梅斯草片文書」；為英國人Henry Rhind於1858年發現，因此還稱「Rhind草片文書」）是世界上最早給出圓周率近似值，為 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之測定倚靠實物測量。
幾何法時期——反覆割圓
阿基米得用幾何方法得出圓周率是介乎 與 之間。
公元263年，劉徽用「割圓術」給出 π=3.14014 並限出 3.14 是個很好的近似值——「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」；其中有求極限的思想。
公元466年，祖沖之用割圓術算到小數點後7位精度，這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。
分析法時期——無窮級數
這一時期人們開始擺脫利用割圓術的繁複計算，開始利用無窮級數或無窮連乘積求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 計算出首 35 個小數字。他對此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 數學家Jurij Vega於1789年得出首 140 個小數字，其中有 137 個是正確的。這個世界紀錄維持了五十年。他是利用了John Machin於1706年提出的數式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一個快速演算法由 Machin 提出：
其中 arctan(x) 可由泰勒級數算出。類似方去稱為「類Machin演算法」。
計算器時代
上萬位以上的小數字值通常利用 Gauss-Legendre 演算法或 Borweins 演算法；另外以往亦曾使用於1976年發現的 Salamin-Brent 演算法。
第一個 π 和 1/π 的百萬小數字利用了 Project Gutenberg。最新紀錄是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 個小數位，由擁有 1TB 主存儲器的 64-node 日立 超級電腦，以每秒 200 億運算驚人速度得出，比舊紀錄多算出一倍 (206 億小數位)。此紀錄由以下類Machin演算法得出：
(K. Takano, 1982年)
(F. C. W. Störmer, 1896年)
這麼多的小數字沒什麼實用價值，只用以測試超級電腦。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普勞夫發現了 π 的其中一個無窮級數：
以表達式可以計算 π 的第 n 個二進位或十六進位小數，而不需先計算之前 n-1 個小數位。請參考 Bailey's website 相關程序。
其它計算圓周率的方法包括：
(Ramanujan)
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)
年表
日期 計算者 π的值
(世界紀錄用粗體表示)
前20世紀 巴比倫人 25/8 = 3.125
前20世紀 埃及人Rhind Papyrus (16/9)² = 3.160493...
前12世紀 中國 3
前6世紀中 聖經列王記上7章23節 3
前434年 阿那克薩哥拉 嘗試通過標尺作圖來化圓為方
前3世紀 阿基米得 223/71 < π < 22/7
(3.140845... < π < 3.142857...)
211875/67441 = 3.14163...
20 BC Vitruvius 25/8 = 3.125
130年 張衡 √10 = 3.162277...
150年 托勒密 377/120 = 3.141666...
250年 王蕃 142/45 = 3.155555...
263年 劉徽 3.14159
480年 祖沖之 3.1415926 < π < 3.1415927
499年 Aryabhatta 62832/20000 = 3.1416
598年 Brahmagupta √10 = 3.162277...
800年 花拉子密 3.1416
12世紀 Bhaskara 3.14156
1220年 比薩的李奧納多 3.141818
1400年 Madhava 3.1415926359
以後的紀錄都僅記錄多少位小數點後而不出實際值
1424年 Jamshid Masud Al Kashi 16位小數
1573年 Valenthus Otho 6位小數
1593年 Francois Viete 9位小數
1593年 Adriaen van Roomen 15位小數
1596年 Ludolph van Ceulen 20位小數
1615年 Ludolph van Ceulen 32位小數
1621年 Willebrord Snell (Snellius), Van Ceulen 的學生 35位小數
1665年 牛頓 16位小數
1699年 Abraham Sharp 71位小數
1700年 Seki Kowa 10位小數
1706年 John Machin 100位小數
1706年 William Jones 引入希臘字母 π
1730年 Kamata 25位小數
1719年 De Lagny 計算了 127 個小數字，但並非全部是正確的 112位小數
1723年 Takebe 41位小數
1734年 萊昂哈德•歐拉 引入希臘字母 π 並肯定其普及性
1739年 Matsunaga 50位小數
1761年 Johann Heinrich Lambert 證明 π 是無理數
1775年 歐拉指出 π 是超越數的可能性
1789年 Jurij Vega 計算了 140 個小數字，但並非全部是正確的 137位小數
1794年 Adrien-Marie Legendre 證明 π² 是無理數（則 π 也是無理數），並提及 π 是超越數的可能性
1841年 Rutherford 計算了 208 個小數字，但並非全部是正確的 152位小數
1844年 Zacharias Dase 及 Strassnitzky 200位小數
1847年 Thomas Clausen 248位小數
1853年 Lehmann 261位小數
1853年 Rutherford 440位小數
1853年 William Shanks 527位小數
1855年 Richter 500位小數
1874年 William Shanks耗費 15 年計算了 707 個小數字，可惜1946年D. F. Ferguson發現其結果非全對 527位小數
1882年 Lindemann 證明 π 是超越數（Lindemann-Weierstrass 定理）
1946年 D. F. Ferguson 使用桌上計算器 620位小數
1947年 710位小數
1947年 808位小數
1949年 J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用電腦（ENIAC）計算 π，以後的記錄都用電腦來計算的 2,037位小數
1953年 Mahler證明 π 不是Liouville 數
1955年 J. W. Wrench, Jr, 及 L. R. Smith 3,089位小數
1961年 100,000位小數
1966年 250,000位小數
1967年 500,000位小數
1974年 1,000,000位小數
1992年 2,180,000,000位小數
1995年 金田康正 > 6,000,000,000位小數
1999年 金田康正和Takahashi > 206,000,000,000位小數
2002年 金田康正的隊伍 > 1,241,100,000,000 位小數
這就是圓周率(π) 的計算及歷史
2006-11-21 3:41 am
早在公元前二千多年，古代的巴比倫、埃及、中國和以色列人已先後發現了一個事實：不管圓的大小為何，它的圓周長除以它的直徑長會是一個不變的數值 (常數) 。讓我們看看古巴比倫人和埃及人的發現：
古巴比倫
巴比倫人從計算周界發現 ：一塊出土於 1936 年的黏土塊上記載，在古巴比倫時期 (約公元前 1900-1600 年) ，巴比倫人相信六邊形的周界為0;57,36 (以底數 60 計，亦即 = 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圓的周界：
六邊形周界 = 24/25 ´ 其外接圓周界 = 24/25 ´ p ´ 直徑
由此，得出相信是最古老的圓周率的近似值：
p 〔巴比倫〕= 25/8 = 3.125
埃及
埃及人則從面積計算得 (約公元前 2000 年) ：在賴因德古本 (Rhind Papyrus)，記載了一條有關圓周率的問題：「一塊圓形土地的的直徑長 9，它的面積為何……取圓直徑的九分八，做為正方形的邊形，就可得到和圓等面積的正方形」。亦即：
A = (8d/9)2
由此，得出圓周率的近似值：
p 〔埃及〕 = (16/9)2 = 3.16049...
再多一點點記載
中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。
聖經 (約公元前 500 年)：在《列王紀上篇》第七章二十三節，也記載了有關圓周率的數值：「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、高五肘、徑十肘、圍三十肘」 (這是描述所羅門王神殿內祭壇的規格)，亦即當時的人也認為 p = 3。
在這段期間，人們都是為生活而作計算，鮮有為圓周率而找圓周率。他們的發現多源自經驗 (實際量度) 所得，對圓周率的興趣只在於它在建築及工程上的應用，最多也只是想找出圓周率的值是多少。
直至公元前約四世紀，人類才轉往追問如何找出圓周率的值，開始為圓周率而找圓周率：
一個對找出圓周率之值的重要發現：「窮舉法」
古希臘
安提豐（Antiphon，約公元前 430 年）和布賴森（Bryson，公元前 408 - 355 年）想出一個方法計算平面圖形面積的方法－「窮舉法」（Method of Exhaustion）。他們也嘗試以「窮舉法」來計算圓的面積：
「畫一個正六邊形，將它的邊增加兩倍，再不繼倍增，這個正多邊形最後就會"變成"圓形。」
此外，布賴森更開創了一個新想法以計算圓的面積：計算圓的外切多邊形和內接多邊形的面積，圓的面積就介乎他們之間。這可能是人類首次以上下限迫近一個值。
可惜的是，礙於不懂得計算多位數，他們未能將「窮舉法」應用到找出圚周率的值。不過，他們用「窮舉法」把多邊形迫近圓的想法，則啟發了其他的數學家，令他們找到一個計算圓周率的值的方向。
古巴比倫
巴比倫人從計算周界發現 ：一塊出土於 1936 年的黏土塊上記載，在古巴比倫時期 (約公元前 1900-1600 年) ，巴比倫人相信六邊形的周界為0;57,36 (以底數 60 計，亦即 = 96/100 = 24/25) 乘以它的外接圓的周界：
六邊形周界 = 24/25 ´ 其外接圓周界 = 24/25 ´ p ´ 直徑
由此，得出相信是最古老的圓周率的近似值：
p 〔巴比倫〕= 25/8 = 3.125
埃及
埃及人則從面積計算得 (約公元前 2000 年) ：在賴因德古本 (Rhind Papyrus)，記載了一條有關圓周率的問題：「一塊圓形土地的的直徑長 9，它的面積為何……取圓直徑的九分八，做為正方形的邊形，就可得到和圓等面積的正方形」。亦即：
A = (8d/9)2
由此，得出圓周率的近似值：
p 〔埃及〕 = (16/9)2 = 3.16049...
再多一點點記載
中國 (約公元前十二世紀)：中國最古老的數學書《周髀算經》記載了「周三徑一」。這顯示中國人認為 p = 3。
聖經 (約公元前 500 年)：在《列王紀上篇》第七章二十三節，也記載了有關圓周率的數值：「他又鑄一個銅海、樣式是圓的、高五肘、徑十肘、圍三十肘」 (這是描述所羅門王神殿內祭壇的規格)，亦即當時的人也認為 p = 3。
在這段期間，人們都是為生活而作計算，鮮有為圓周率而找圓周率。他們的發現多源自經驗 (實際量度) 所得，對圓周率的興趣只在於它在建築及工程上的應用，最多也只是想找出圓周率的值是多少。
直至公元前約四世紀，人類才轉往追問如何找出圓周率的值，開始為圓周率而找圓周率：
一個對找出圓周率之值的重要發現：「窮舉法」
古希臘
安提豐（Antiphon，約公元前 430 年）和布賴森（Bryson，公元前 408 - 355 年）想出一個方法計算平面圖形面積的方法－「窮舉法」（Method of Exhaustion）。他們也嘗試以「窮舉法」來計算圓的面積：
「畫一個正六邊形，將它的邊增加兩倍，再不繼倍增，這個正多邊形最後就會"變成"圓形。」
此外，布賴森更開創了一個新想法以計算圓的面積：計算圓的外切多邊形和內接多邊形的面積，圓的面積就介乎他們之間。這可能是人類首次以上下限迫近一個值。
可惜的是，礙於不懂得計算多位數，他們未能將「窮舉法」應用到找出圚周率的值。不過，他們用「窮舉法」把多邊形迫近圓的想法，則啟發了其他的數學家，令他們找到一個計算圓周率的值的方向。
收錄日期: 2021-04-13 19:55:10
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