數學證明題,抽屉原則應用

設 ai = iX - [iX]
即是取其小數部分

如題意, a1, a2, ....., a(n-1) 會界乎 ( 1/n , (n-1)/n )

即 1/n < a1, a2, ....., a(n-1) < (n-1)/n

把 (0 , 1 ) 界成 n 分, 每份長 1/n

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因為 ai 不能在 第一格和最後一格中, 所以 只有中間的 (n-2) 格可選
把 a1~a(n-1) 這 n-1 個數放在 n-2 格中, 根據抽屉原則 , 會有兩個數在同一格中

即
| ap - aq | < 1/n
| px - [px] - qx + [ qx] | < 1/n

不失一般性, 當 p > q
設 r = p - q

| rx - ( [px] - [qx] ) | < 1/n
因為 [ px ] - [qx] 是一個整數 s

所以得出
| rx - s | < 1/n

即 rx 與 整數之差少於 1/n

2006-11-27 00:29:55 補充：
例如 n = 4 題目將成為在數 x, 2x, 3x 之中有一個數,它與一個整數之差至多是 1/4.先假設 x, 2x, 3x 這三個數中無一個數與整數之差至多是 1/4.即是 x 的小數部份不可以 小於 0.25 或 大於 0.75

2006-11-27 00:30:08 補充：
例如 x = 3.2 , x 已與一個整數 ( 3 ) 之差至多是 1/4又例如 x = 3.8 , x 已與一個整數 ( 4 ) 之差至多是 1/4所以當 n = 4 時, 各數的小數部份只可以界乎於 0.25 ~ 0.75 一般性地n 個數的小數部份 a1, a2, ....., a(n-1) 會界乎 ( 1/n , (n-1)/n )ok ?

你這題目應該是有問題ba~
1) X為任一實數, 我假設X是無理數, 在{X,2X,3X,...,(n-1)X}這數列中, 怎可能存在整數呢?
2) 我就假設存在這個整數A, 若它與一個整數B之差至多是 1/n, 那麼只有兩個可能性: 一是n必然是1; 二是那兩個整數是同一個整數, 不然就絕不能符合題目條件 |A - B| <= 1/n

我想你是把英文translate過來中文的吧~
還是把原題打出來吧~