畢氏定理和(E=MC*MC)

什麼是畢氏定理？我們採用三種說法：


(i)出太陽的日子，在地面上鉛直立一根竹竿，那麼地面上就出現一段竿影（見圖一）。畢氏定理是說：竿端至影端的距離平方等於竿長平方與影長平方之和。


(ii)在直角坐標平面上，如圖二，有 AB 之線段，那麼 AB 的平方就等於 AB 在 x 軸與 y 軸的投影平方之和。


(iii)在直角三角形中，斜邊的平方等於兩股平方之和。如圖三，設 ，則 AB2=BC2+AC2，亦即斜邊上的正方形面積等於兩股上正方形面積之和。



『a2 + b2 = c2』這就是希臘學者畢達哥拉斯(Pythagoras)最著名的發現：『畢氏定理』(Pythagoras' Theorem，即『商高定理』、『勾股定理』)。本定理說明了直角三角形三邊的關係：『斜邊的平方等於另外兩邊的平方之和。』由於證明『畢氏定理』的方法太多，本人祇舉我國在三國時期的兩個例子，以茲參考。

趙爽，三國時期吳國數學家，為《周髀算經》作注。他在《周髀算經注》中，注釋了『勾股定理』。他寫了一篇『勾股圓方圖說』，並附上『弦圖』乙幅〔見圖〕，對『勾股定理』作出了證明：
以弦為邊作一正方形，其面積名為『弦實』。在那正方形內作四個直角三角形，塗以朱紅色，其面積名為『朱實』。中央的小正方形，塗以黃色，其面積稱為『黃實』。而小正方形的邊長等於股、勾之差。但『弦實』等於四個『朱實』及『黃實』之和。於是便得出：
弦2 = 4．[0.5(勾．股)] + (股－勾)2
弦2 = 2(勾．股) + 股2 － 2(勾．股) + 勾2
弦2 = 勾2 + 股2


對於一般三角形，我們有：


定理一（餘弦定理）：
在任意三角形 中，設 a,b,c 為其三邊（參見圖四），則



畢氏定理推廣到三維空間 ，有兩個形式（定理二與定理三）：


定理二（畢氏定理）：
位置向量 (position vector) 在各個坐標軸的投影長之平方和等於向量長的平方，亦即


(參見圖五)
將(1)式「二元化」之後，就是內積構造：


其中 。在(2)式中，取 ，又復得(1)式，這叫做「極化」。

注意到：若 投影到各坐標平面上的長分別為 OA1、OA2、OA3，則


定理三(畢氏定理)：
在圖六中，令 π 表示由兩向量 與 所決定的平行四邊形。設 、 與 分別是 π 在 xy，yz，zx 平面上的投影，則

對於定理三我們採用兩種證法：

證明一：利用向量內積的演算來做，雖較麻煩但較有收穫。首先求π的面積。設 在 上的投影向量為 ，則


於是

所以

從而

令 ， ，則



這個額外的收穫有三件：
1. Lagragnge 等式：


用向量記號表達就是


其實，此式是兩維畢氏定理


的化身！其中 θ 為 與 的夾角。因為將(7)式之兩邊同乘以 ，再配合內積與外積的幾何解釋就得到(6)式。因此，在內積與外積的交織下，(3)-(7)五個式子皆等價的(equivalent)，這是很奇妙的事。

進一步，對(6)式作「二元化」也成立，仍然叫做Lagrange等式：


當 ，且 時， (8)式就化約成(6)式。


對於二維向量的情形，(5)式變成


這表示「兩數平方和乘以兩數平方和，等於兩個平方數之和」。事實上，(9)式等價於複數的一個重要性質：


2. Cauchy不等式：


3. Gram 行列式：
利用行列式可將(4)式表為


我們稱此行列式為 Gram 行列式，記成 。進一步，引入向量元的行向量與列向量，並且利用矩陣乘法，則 可表成



其中 det 表示對方陣取行列式。 Gram 行列式 代表由 與 所決定的平行四邊形面積的平方。(13)式也隱含了畢氏定理。

此外，上述(5)、(11)、(12)與(13)四式都有高維空間的推廣。

證明二：對於(3)式的證明，比較簡單的辦法是利用向量外積的演算。


E=MC^2=(m^2 x c^4 + P^2 x c^2)^1/2

M運動中的質量 m光子的靜止質量

光子的靜止質量 m=0

=> E=PC

一般粒子 若p=0 => E=MC^2(即質量為能量之一種形式)

勾股定理的源頭
相信每個讀過幾何的人也知道勾股定理是甚麼，若你不知道或許是名字上的不同，其實

勾股定理即是畢氏定理。由於畢氏定理的詳細證明，最早可能是由希臘數學家畢達哥拉斯

所整理得出，所以為記念他而命名的。 但是你又知不知道，其實在公元前一世紀，中國

的算書《周髀算經》中，已記載了勾股定理﹙又名商高定理﹚，比起畢氏定理大約早了五

百多年，由此可見當時中國的數學成就絕不比巴比倫、希臘等數學古國為低。

勾股定理的定義

勾股定理的證明可能是世上最多的，證明的方法可能有五百多種，但總離不開一個直角三

角形!圖中所見,在勾股定理中，斜邊a稱是「弦」， 直角邊b 稱為「股」， c 為[勾],《周

髀算經》中記載商高講到：「勾廣三，股修四，徑隅五」，所指的就是我們

熟悉的，邊長分別是3,4,5的直角三角形。又有一古代數學家陳子講道：「勾股各自

乘，併而開方得弦。」這清楚地指出了直角三形三條邊的關係，看到這裏，你心感到古人

的智慧嗎?


畢氏是一個人的姓氏
是畢達格拉斯(約公元前560年~公元前480年)發現的
所以用畢氏來命名

商高不是人名啦
中國在商高時代(公元前1100年)就已經知道“勾三股四弦五”的關係，遠早於畢達格拉斯，因此有人主張畢氏定理應該稱呼為商高定理，但普遍性的定理則在陳子時代(公元前6﹑7世紀)，而提出定理的證明則首推趙君卿(見周髀的趙君卿注)。趙氏是三世紀的人，現在這個定理普通稱為勾股弦定理或勾股定理




什麼是畢氏定理？我們採用三種說法：


(i)出太陽的日子，在地面上鉛直立一根竹竿，那麼地面上就出現一段竿影（見圖一）。畢氏定理是說：竿端至影端的距離平方等於竿長平方與影長平方之和。


(ii)在直角坐標平面上，如圖二，有 AB 之線段，那麼 AB 的平方就等於 AB 在 x 軸與 y 軸的投影平方之和。


(iii)在直角三角形中，斜邊的平方等於兩股平方之和。如圖三，設 ，則 AB2=BC2+AC2，亦即斜邊上的正方形面積等於兩股上正方形面積之和。



『a2 + b2 = c2』這就是希臘學者畢達哥拉斯(Pythagoras)最著名的發現：『畢氏定理』(Pythagoras' Theorem，即『商高定理』、『勾股定理』)。本定理說明了直角三角形三邊的關係：『斜邊的平方等於另外兩邊的平方之和。』由於證明『畢氏定理』的方法太多，本人祇舉我國在三國時期的兩個例子，以茲參考。

趙爽，三國時期吳國數學家，為《周髀算經》作注。他在《周髀算經注》中，注釋了『勾股定理』。他寫了一篇『勾股圓方圖說』，並附上『弦圖』乙幅〔見圖〕，對『勾股定理』作出了證明：
以弦為邊作一正方形，其面積名為『弦實』。在那正方形內作四個直角三角形，塗以朱紅色，其面積名為『朱實』。中央的小正方形，塗以黃色，其面積稱為『黃實』。而小正方形的邊長等於股、勾之差。但『弦實』等於四個『朱實』及『黃實』之和。於是便得出：
弦2 = 4．[0.5(勾．股)] + (股－勾)2
弦2 = 2(勾．股) + 股2 － 2(勾．股) + 勾2
弦2 = 勾2 + 股2


對於一般三角形，我們有：


定理一（餘弦定理）：
在任意三角形 中，設 a,b,c 為其三邊（參見圖四），則



畢氏定理推廣到三維空間 ，有兩個形式（定理二與定理三）：


定理二（畢氏定理）：
位置向量 (position vector) 在各個坐標軸的投影長之平方和等於向量長的平方，亦即


(參見圖五)
將(1)式「二元化」之後，就是內積構造：


其中 。在(2)式中，取 ，又復得(1)式，這叫做「極化」。

注意到：若 投影到各坐標平面上的長分別為 OA1、OA2、OA3，則


定理三(畢氏定理)：
在圖六中，令 π 表示由兩向量 與 所決定的平行四邊形。設 、 與 分別是 π 在 xy，yz，zx 平面上的投影，則

對於定理三我們採用兩種證法：

證明一：利用向量內積的演算來做，雖較麻煩但較有收穫。首先求π的面積。設 在 上的投影向量為 ，則


於是

所以

從而

令 ， ，則



這個額外的收穫有三件：
1. Lagragnge 等式：


用向量記號表達就是


其實，此式是兩維畢氏定理


的化身！其中 θ 為 與 的夾角。因為將(7)式之兩邊同乘以 ，再配合內積與外積的幾何解釋就得到(6)式。因此，在內積與外積的交織下，(3)-(7)五個式子皆等價的(equivalent)，這是很奇妙的事。

進一步，對(6)式作「二元化」也成立，仍然叫做Lagrange等式：


當 ，且 時， (8)式就化約成(6)式。


對於二維向量的情形，(5)式變成


這表示「兩數平方和乘以兩數平方和，等於兩個平方數之和」。事實上，(9)式等價於複數的一個重要性質：


2. Cauchy不等式：


3. Gram 行列式：
利用行列式可將(4)式表為


我們稱此行列式為 Gram 行列式，記成 。進一步，引入向量元的行向量與列向量，並且利用矩陣乘法，則 可表成



其中 det 表示對方陣取行列式。 Gram 行列式 代表由 與 所決定的平行四邊形面積的平方。(13)式也隱含了畢氏定理。

此外，上述(5)、(11)、(12)與(13)四式都有高維空間的推廣。

證明二：對於(3)式的證明，比較簡單的辦法是利用向量外積的演算。

詳解:http://www.plk83.edu.hk/iit/kls/Slide%20Show/Pyth-slide-show.files/frame.htm
練習 : http://www.cmi.hku.hk/teaching/Pytha/pytha%20wks.htm