等比數列級數

文強參加了一項兩公里賽跑。已知他第一分鐘跑了x米，其後每分鐘他所跑的距離是前一分鐘的三分之二。
(a) 以x和n表示跑了n分鐘後餘下的路程長度。
首項是 a = x，公比是 r = 2/3
通項是T(n) = x(2/3)n-1
n項和是
S(n) = a(1 – rn)/(1-r)
S(n) = x(1 – (2/3)n)/(1-2/3)
S(n) = 3x(1 – (2/3)n)
所以餘下的距離是 2000 - 3x(1 – (2/3)n)

(b) 若他用了4分鐘完成了一半的路程，求他第一分鐘所跑的距離。
4分鐘完成一半即
2000 – 3x(1-(2/3)4) = 1000
3x(1-(2/3)4) = 1000
3x(1-24/34) = 1000
3x((81-16)/81) = 1000
x(65/27) = 1000
x = 1000(27/65)
x = 415.4m

(a)
他n分鐘後所跑的距離
=x+x(2/3)+x(2/3)^2+......
=x[1-(2/3)^(n-1)]/(1-2/3)
=3x-3(2/3)^(n-1)
餘下的路程長度
=2(1000)-3x+3(2/3)^(n-1)
=2000-3x+3(2/3)^(n-1)

(b)
x+x(2/3)+x(2/3)^2+x(2/3)^3=(4/2)1000
3x-3(2/3)^3=2000
3x-8/9=2000
27x-8=18000
27x=18008
x=666.96(取至小數點後兩位)
所以他第一分鐘所跑的距離是666.96米