奧林匹克數學20分!!!

(1+198)*198÷2=19701

1+9+7+0+1
=18

1+8
=9

9÷9
=1

餘數=1

餘數應＝０而不是１

1 至 9 數位和
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
= 45

10 至 19 數位和
= 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + ... + 1 + 9
= 10*1 + 45
= 55

20 至 29 數位和
= 2 + 0 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 2 + 9
= 10*2 + 45
= 65

如此類推，
90 至 99 數位和
= 9 + 0 + 9 + 1 + 9 + 2 + ... + 9 + 9
= 10*9 + 45
= 135

所以 1 至 99 的數位和是
= 1 至 9 數位和 + 10 至 19 數位和 + 20 至 29 數位和 + ... + 90 至 99 數位和
= 45 + 55 + 65 + ... + 135
= (45 + 135)*10/2
= 900

100 至 199 的數位和
= 1+0+0+ 1+0+1 + 1+0+2 + ... + 1+9+9
= 1*100 + (0 至 99 的數位和)
= 1*100 + (1 至 99 的數位和)
= 100 + 900
= 1000

所以 1 至 198 的數位和
= 1 至 99 的數位和是 + 100 至 199 的數位和 - 1 - 9 - 9
= 900 + 1000 - 19
= 1881

即是說數字 12345678910111213141516...196197198 的數位和是 1881

由於一個數字除以 9 的餘數是等如這個數字數位和除以 9 的餘數，所以
12345678910111213141516...196197198 除以 9 的餘數
= 1881 數位和除以 9 的餘數
= (1+8+8+1) 和除以 9 的餘數
= 18 和除以 9 的餘數
= 1+8 數位和除以 9 的餘數
= 9 除以 9 的餘數
= 0

所以12345678910111213141516...196197198 除以 9 的餘數是 0 (即是可被 9 整除)。