何謂微積分？

先看看簡介:

微積分是微分和積分兩門學問的統稱，研究的範疇有三，包括微分、積分，以及微分和積分兩者之間的關係。微分主要討論一個變量怎樣隨時間（或其他變量）改變，而積分則主要討論計算面積的方法。它們兩者的關係由「微積分基本定理」（或稱「牛頓 － 萊布尼茨公式」）給出：簡單來說，這條定理說明，在適當的條件下，求積分是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。以下簡介微積分發展的歷史。

如有興趣可看歷史﹕
一、　萌芽時期

早在希臘時期，人類已經開始討論「無窮」、「極限」以及「無窮分割」等概念。這些都是微積分的中心思想；雖然這些討論從現代的觀點看有很多漏洞，有時現代人甚至覺得這些討論的論証和結論都很荒謬，但無可否認，這些討論是人類發展微積分的第一步。

例如公元前五世紀，希臘的德謨克利特（Democritus）提出原子論：他認為宇宙萬物是由極細的原子構成。在中國，《莊子．天下篇》中所言的「一尺之捶，日取其半，萬世不竭」，亦指零是無窮小量。這些都是最早期人類對無窮、極限等概念的原始的描述。

其他關於無窮、極限的論述，還包括芝諾（Zeno）幾個著名的悖論1：其中一個悖論說一個人永遠都追不上一隻烏龜2，因為當那人追到烏龜的出發點時，烏龜已經向前爬行了一小段路，當他再追完這一小段，烏龜又已經再向前爬行了一小段路。芝諾說這樣一追一趕的永遠重覆下去，任何人都總追不上一隻最慢的烏龜－－當然，從現代的觀點看，芝諾說的實在荒謬不過；他混淆了「無限」和「無限可分」的概念。人追烏龜經過的那段路縱然無限可分，其長度卻是有限的；所以人仍然可以以有限的時間，走完這一段路。然而這些荒謬的論述，開啟了人類對無窮、極限等概念的探討，對後世發展微積分有深遠的歷史意味。

另外值得一提的是，希臘時代的阿基米德（Archimedes）已經懂得用無窮分割的方法正確地計算一些面積，這跟現代積分的觀念已經很相似。由此可見，在歷史上，積分觀念的形成比微分還要早－－這跟課程上往往先討論微分再討論積分剛剛相反。



二、　十七世紀的大發展－－牛頓和萊布尼茨的貢獻

中世紀時期，歐洲科學發展停滯不前，人類對無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有甚麼突破。中世紀以後，歐洲數學和科學急速發展，微積分的觀念也於此時趨於成熟。在積分方面，一六一五年，開普勒（Kepler）把酒桶看作一個由無數圓薄片積累而成的物件，從而求出其體積。而伽利略（Galileo）的學生卡瓦列里（Cavalieri）即認為一條線由無窮多個點構成；一個面由無窮多條線構成；一個立體由無窮多個面構成。這些想法都是積分法的前驅。

在微分方面，十七世紀人類也有很大的突破。費馬（Fermat）在一封給羅貝瓦（Roberval）的信中，提及計算函數的極大值和極小值的步驟，而這實際上已相當於現代微分學中所用，設函數導數為零，然後求出函數極點的方法。另外，巴羅（Barrow）亦已經懂得透過「微分三角形」（相當於以 dx、dy、ds 為邊的三角形）求出切線的方程，這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的。由此可見，人類在十七世紀已經掌握了微分的要領。

然而，直至十七世紀中葉，人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的觀念。就在這個時候，牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個貌似不相關的問題，透過「微積分基本定理」或「牛頓 － 萊布尼茨公式」連繫起來，說明求積分基本上是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石，是微積分發展一個重要的里程碑。

微積分誕生以後，逐漸發揮出它非凡的威力，過去很多初等數學束手無策的問題，至此往往迎刃而解。例如，雅各布．伯努利（Jakob Bernoulli）用微積分的技巧，發現對數螺線經過各種適當的變換之後，仍然是對數螺線3。他的弟弟約翰．伯努利（Johnann Bernoulli）在一六九六年提出一個「最速降線」問題︰「一質點受地心吸力的作用，自較高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什麼曲線，時間最短？」這條問題後來促使了變分學誕生4。歐拉（Euler）的《引論》、《微分學》、《積分學》亦總結了自十七世紀微積分的全部成果。

儘管如此，微積分的理論基礎問題，仍然在當時的數學界引起很多爭論5。牛頓的「無窮小量」，有時是零，有時又不是零，他的極限理論也是十分模糊的。萊布尼茨的微積分同樣不能自圓其說。這個問題要到十九世紀才得到完滿的解答，所以微積分在當時，惹來不少反對的聲音，當中包括數學家羅爾（Rolle）。儘管如此，羅爾本身亦曾提出一條與微積分有關漫w理︰他指出任意的多項式 f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ... 的任何兩個實根之間都存在至少一個 b + 2cx + 3dx2 + ... 的實根。熟悉微積分的朋友會知道，b + 2cx + 3dx2 + ... 其實是 f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ... 的導數6。後人將這條定理推廣至可微函數，發現若函數 f (x) 可微，則在 f (x) = 0 的任何兩個實根之間，方程 f'(x) = 0 至少有一個實根。這條定理被冠為「羅爾定理」，是為微分學的基本定理之一。由此可見，在挑戰微積分的理論基礎的同時，數學家已經就微積分的發展作出了很大的貢獻。



三、 十九世紀基礎的奠定

微積分的發展迅速，使人來不及檢查和鞏固微積分的理論基礎。十九世紀，許多迫切問題基本上經已解決，數學家於是轉向微積分理論的基礎重建，人類亦終於首次給出極限、微分和積分等概念的嚴格定義。

一八一六年，波爾查諾（Bolzano）在人類歷史上首次給出連續函數的近代定義。繼而在一八二一年，柯西（Cauchy）在他的《教程》中提出 e 方法，後來在一八二三年的《概要》中他改寫為 d 方法，把整個極限過程用不等式來刻畫，使無窮的運算化為一系列不等式的推算，這就是所謂極限概念的「算術化」。後來外爾斯特拉斯 （Weierstrass）將 e 和 d 聯繫起來，完成了 e-d 方法，這就是現代極限的嚴格定義。

有了極限的嚴格定義，數學家便開始嘗試嚴格定義導數和積分。在柯西之前，數學家通常以微分為微積分的基本概念，並把導數視作微分的商。然而微分的概念模糊，把導數定義作微分的商因此並不嚴謹。於是柯西《概要》中直接定義導數為差商的極限，這就是現代導數的嚴格定義，是為現代微分學的基礎。

在《概要》中，柯西還給出連續函數的積分的定義：設 f(x) 為在 [a,b] 上連續的函數，則任意用分點 a = x0 < ... < xn = b，將 [a,b] 分為 n 個子區間 [xi-1,xi] (i = 1, 2, ..., n)，若果和式



當最大子區間的長度趨向 0 時，極限存在，則此極限稱為函數 f(x) 在 [a,b] 上的積分。這跟現代連續函數積分的定義是一致的。

後來黎曼（Riemann）推廣了柯西的定義。黎曼的定義跟柯西的定義不同的地方，在於和式 S 的定義：在黎曼的定義中，和式 S 定義為



（留意黎曼在黎曼和中用了 [xi-1,xi] 中任意一點 xi-1，而柯西在其和式 S 中則永遠選取子區間 [xi-1,xi] 的左端點 xi-1）。我們說黎曼推廣了柯西的定義，是因為對所有在 [a,b] 上連續的函數，柯西積分的值跟黎曼積分的值一樣，而且有一些在 [a,b] 上不連續的函數，當最大子區間的長度趨向 0 時 S 的極限依然存在。這就是現在所用的「黎曼積分」的定義；至此微積分理論的基礎重建已經大致完成。

柯西以後，微積分邏輯基礎發展史上的最重大事件是人類從集合理論出發，建立了實數理論－－我們說實數理論的建立是微積分理論發展史上的一件大事，是因為微積分的理論用上了很多實數的性質。這實數理論的建立，主要功勞歸於戴德金（Dedekind）、康托爾（Cantor）、外爾斯特拉斯等人。一八七二年，梅雷（Méray）提出的無理數定義，和同一年康托爾提出用有理「基本序列」來定義無理數實質相同。有了實數理論，加上集合論和極限理論，微積分就自從三百年以來，首次有了鞏固的邏輯基礎，而微積分的理論亦終於趨於完備。

註：
1. 悖論是一些似是而非的推論；這些推論在邏輯上都是不成立的。當然，在這個例子裏，我們現在知道芝諾提出的是悖論，是因為我們現在有一套已經發展得很完備的邏輯系統。在芝諾的時代，芝諾以至其他學者都還沒有意識到其推論的謬誤

2. 歷史上那個追烏龜的人名叫阿基琉斯（Achilles)

3. 在驚嘆和欣賞這曲線的神奇巧妙之餘，他要求死後將對數螺線刻在自己的墓碑上，並附以頌詞「縱使變化，依然故我！」

4. 變分學是微積分的一個分支

5. 另外，牛頓比萊布尼茨早十年研究微積分，但萊布尼茨卻比牛頓早三年發表研究結果，這引發了微積分發明優先權的爭論
6. 不熟悉微積分的朋友，可把 b + 2cx + 3dx2 + ... 看作用 0、1、2、…… 各項分別乘原多項式 f(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ... 各項再除以 x 所得到的方程

微積分學（Calculus）是數學的一個基礎分支學科，源於代數和幾何。內容主要包括函數、極限、導數、微分學、積分學及其應用。微積分有兩個基本想法：其一是微分學，包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。 它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可在一個通用的符號化基礎上進行討論；其二是積分學，包括積分的運算，為計算被一個函數圖像所包的面積提供一套通用的方法，並引入諸如體積的相關概念。

微分和積分互為逆運算，這種概念被微積分學基本定理精確化。這意味著我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學。但是在教學中，微分學一般會先被引入

微積分學（Calculus）是數學的一個基礎分支學科，源於代數和幾何。內容主要包括函數、極限、導數、微分學、積分學及其應用。微積分有兩個基本想法：其一是微分學，包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。 它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可在一個通用的符號化基礎上進行討論；其二是積分學，包括積分的運算，為計算被一個函數圖像所包的面積提供一套通用的方法，並引入諸如體積的相關概念。

微分和積分互為逆運算，這種概念被微積分學基本定理精確化。這意味著我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學。但是在教學中，微分學一般會先被引入。

目錄 [隱藏]
1 微積分的發展歷史
2 微積分的主要內容
2.1 極限
2.2 導數
2.3 微分學
2.4 積分學
3 微積分的符號
4 微積分學的應用
5 外部鏈接



[編輯] 微積分的發展歷史
微積分學是17世紀的戈特弗里德·威廉·萊布尼茲和艾薩克·牛頓建立而成。在他們創立微積分以前，人類把微分和積分視為兩種各自獨立的科學。而微積分之名是萊布尼茲所創。

萊布尼茲和牛頓曾為爭奪微積分的發明權訴諸皇家學會仲裁。

微積分實際被許多人不斷地完善，也離不開巴羅、笛卡爾、費馬、惠更斯和沃利斯的貢獻。

微積分的主要內容是微分，積分和極限。

發展現代微積分理論的一個動力是為了解決「切線問題」，另一個是"面積問題"。


[編輯] 微積分的主要內容
微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算。牛頓和萊布尼茲發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究。這個發現使我們在微分和積分之間互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法，該方法並不真正進行極限運算而是通過發現不定積分。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。

微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。

微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、復分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。


[編輯] 極限
微積分中最重要的概念是「極限」。微商(即導數)是一種極限。定積分也是一種極限。

從牛頓實際使用它到制定出周密的定義，數學家們奮斗了200多年。現在使用的定義是維斯特拉斯於19世紀中葉給出的。

數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時，如果存在一個有限數，使這個數列可以無限接近這個數，這個數就是這個數列的極限。

數列極限的表示方法是：


其中x就是極限的值。例如當時，它的極限為L = 0。就是說n越大(越往前延伸)，這個值越趨近於0。


[編輯] 導數
我們知道在運動學中，平均速度等於通過的距離除以所花費的時間，同樣在一小段間隔的時間內，除上其走過的一小段距離，等於這一小段時間內的速度，但當這一小段間隔的時間趨於零時，這時的速度為瞬時速度，無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數。得用求導的方法計算。也就是說，一個函數的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化，當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。


[編輯] 微分學
微分學主要研究的是：在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率(或微分)。換言之，計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法，該演算法又叫應用幾何法，主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。


[編輯] 積分學
積分學是微分學的逆運算，即從導數推算出原函數。又分為定與不定積分。一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，約等於函數曲線下包含的實際面積。根據以上認識，我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。 而不定積分，用途較少，主要用於微分方程的解。 主要文章：積分學


[編輯] 微積分的符號
微分學中無窮小量「dx」、「dy」由萊布尼茲首先使用。其中的d源自德語中「差」Differentia的第一個字母。積分符號「∫」亦由萊布尼茲所創，它是德語中「總和」Summe的第一個字母s的伸長。


[編輯] 微積分學的應用
微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與幾乎所有科學分支，特別是物理學，關系密切。幾乎所有現代技術，如建築、 航空等都以微積分學作為基本數學工具。