limit

lim (1^k+2^k+3^k+4^k+...+n^k)/n^(k+1)
=lim Sum r^k/n^(k+1)
=lim 1/n Sum r^k/n^k
=lim 1/n Sum (r/n)^k
=∫x^k dx from 0 to 1
= x^(k+1)/(k+1) (0,1)
=1/(k+1)

計這類數時小心，雖然每項都是極小的，但是因為有無限項加在一起，所以也要計的！不可以說每項小就不計，然後寫0。要知道滴水成河，聚沙成塔。

2006-12-02 18:27:45 補充：
這個可說是公式來的。
根據積分的定義，即那個畫圖那個。將長方條加起來那個。每條的闊度是(b-a)/n,每條的高度是f(a+r(b-a)/n)，長方條面積就是(b-a)/n*f(a+r(b-a)/n)，將這些長方條面積加起來，就成為了下面的公式。
lim (b-a)/n Sum f(a+r(b-a)/n)
=∫f(x) dx from a to b
現在是由0到1，即a=0，b=1

lim 1/n Sum (r/n)^k
=∫x^k dx from 0 to 1

這個是 ∫x^k dx from 0 to 1的原本定義，於高考程度時會教。
即 定積分 是 黎曼和(Riemann Sum) 的極限。

如果不明白的話，就此略過。

lim (1^k+2^k+3^k+4^k+...+n^k)/n^(k+1)
n→∞
=lim (1^k/n^(k+1)+2^k/n^(k+1)+3^k/n^(k+1)+4^k/n^(k+1)+...+n^k/n^(k+1))
n→∞
=0

because when n→∞, n^k/n^(k+1) = 1/n → 0