請問有沒有虛數次方這東西？

是有虛數次方的, 在高等數學會經常出現於 Complex Analysis (複數分析)
而其中一個定義是由 Euler 提出的:
e^{ix} = cos x + i sin x (x 是實數, e = 2.718281828)

究竟點解要用呢條 identity 有好多理由, 可以參考: http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_formula

好了, 用了這個, 就可以做虛數次方運算. 而所有東西都是經由 p^a = e^ (a ln p) 轉換的.

於是, x^(ai+b) 就變成 (先當 x>0):
x^ai * x^b
= e^(ai lnx) * x^b
= e^((a lnx)i) * x^b
=(cos (a lnx) + i sin (a lnx) ) * x^b

例如, 2^ (3i+4) = (cos (3ln2) + i sin (3ln2) )* 2^4 = -7.79 + 13.97i
還有留意, 因為 e^(2npi i) = cos(2npi) + i sin (2npi) = 1 (n整數) 所以 e^(ia + 2npi i) = e^ia, 因此好多唔同次方都可以給相同的數.

好了, 然後當然就會有人問, 那虛數的虛數次方呢?? 例如 (ai+b)^i 有冇得計?

希望你知道, 所有虛數都可以寫成 re^ih, r>=0, h = angle.
那就可以定義 (ai+b)^i = (re^ih)^i = r^i * e^(iih) = r^i e^(-h)
而r^i 我地由上面知道點計.
再者, 留意這條式也包含了負數的: h= pi 的時候.

但問題又來了. 上面說過, re^ih 同 re^(h+2pi)i 是同一個數, 但係我地計次方時會有 e^(-h) 同 e^(-h-2pi) 兩個唔同 factor. 所以這個次方唔係定義得很明確. 於是就引申了Riemannian surface, sheet 等等的研究. 係我地呢條問題, 其本上就好似將個Complex Plane 片開幾塊, 係每一塊會有一個定左的"虛數次方" - plane 1 係 e^-h, plane 2 係e^(-h-2pi) 等, 當h 由0 去到2pi 時, 係我地原本個 complex plane 係好似轉左一個圈咁, 實際上我地已經由Plane 1 走左去 Plane 2.....

後面比較抽象, 希望你大概 Get 到個要點.