為什麼三角形內角和是180度????????

第一句曾經係我親手打出來的

按幾何特性（曲率），現存非歐幾何的類型可以概括如下：
．堅持第五公設，引出歐幾里德幾何。
．以「可以引無數條平行線」為新公設，引出羅氏幾何（或稱雙曲幾何）。
．「一條平行線也不能引」為新公設，引出黎曼幾何（或稱橢圓幾何）。
這三種幾何學，都是常曲率空間中的幾何學，分別對應曲率為0、負常數和正常數的情況。

如果完全去掉第五公設，就得到更加一般化的絕對幾何。這種幾何不僅可以囊括前面提到的三種幾何，而且允許空間的不同位置有不同的曲率。黎曼幾何是描述任意維數任意彎曲的絕對幾何空間的一種微分解析幾何學。

一般來講，非歐幾何有廣義、狹義、通常意義三個不同含義：
．廣義的非歐幾何：泛指一切和歐幾里德幾何不同的幾何學；
．狹義的非歐幾何：只是指羅氏幾何；
．通常意義的非歐幾何：指羅氏幾何和黎曼幾何二者。

歐氏幾何是一個公理系統，所有命題均由五個公設和五條公理，並配合二十三個定義推導出來。其中第五公設為：若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。
由此公設可得命題：兩直線平行，則：同旁內角互補；
　　　　　　　　　　　　　　　　　內錯角相等；
　　　　　　　　　　　　　　　　　同位角相等。

　　　　　　　　　　　　X
　　　A　--------------------------------------------------　B
　　　　　　　　　　　　/\
　　　　　　　　　　　/　　\
　　　　　　　　　　/　　　　\
　　　　　　　　　/　　　　　　\
　　　　　　　　/　　　　　　　　\
　　　C　--------------------------------------------------　D
　　　　　　　Y　　　　　　　　　　Z

假設XYZ為一三角形，AB,CD為直線且AB//CD
因為　角AXY+角YXZ+角BXZ=180度
　　　角AXY=角XYZ
　　　角BXZ=角XZY
所以　角XYZ+角YXZ+角XZY=180度

在歐氏幾何中，三角形內角和＝180度
在羅氏幾何中，三角形內角和＜180度
在黎曼幾何中，三角形內角和＞180度

Q:為什麼三角形內角和是180度????????
A:三角形的內角和可以大於180度，也可以小於180度。
我們就稱作非歐幾何。

我們所學到的，其實是歐氏幾何，
在歐氏幾何中，三角形的內角和是等於180度的。

但事實上，我們也能發展出另一套幾何(橢圓曲面、雙曲曲面)，
使得三角形的內角和不是180度，而且它們確實是正確的。

在邏輯上，歐氏幾何，並不會比非歐幾何來的真(正確)，
這三者都是正確的，並且三者之間的地位是相同的。

然而，不只是在邏輯上如此。
就連現今的宇宙，科學家發現，
宇宙是比較像非歐幾何裡面所說的，三角形的內角和不是180度。


１．三角形的內角合＝１８０
２．歐式幾何最初的五個公設中，最耐人尋味的莫過於有名的「平行公設」了，它說到「同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於兩直角，則若這兩直線經不斷延伸後在這一側相交」。這個公設與其他四個公設和五個公理似乎格格不入，因為那九個命題似乎都是「顯而易見」的。兩千多年來，許多人嘗試要用另外九個公設 / 公理「證明」平行公設，但任何的證明最後都被發現需要假定一個與平行公設等價的假設。

接下來，就是大家所熟知的故事。德國的高斯 (Gauss, 1777-1855)、匈牙利的波里耶 (Bolyai, 1802-1860) 與俄國的羅巴秋夫斯基 (Lobachevsky, 1793-1856) 三人別獨立地假設平行公設是錯誤的，而發現第一種非歐幾何。在這種幾何中，過直線外一點與此直線不相交的直線將不只一條。我們稱這種幾何為羅巴秋夫斯基幾何 (Lobachevskian geometry) 或雙曲幾何。

從那個時代開始，幾何就從歐幾里得的世界中被「解放出來」，許多不同的幾何被建立，其中最有名的就是黎曼幾何 (Riemannian geometry)。雖然如此，歐式幾何仍然在中學生學習基礎數學中，佔有了重要地位，而且它似乎也較符合人類感官的直覺。歐式幾何中較為基本的部分，也就是不涉及平行公設的部分，與雙曲幾何是完全相容的，這些部分被稱為『中立幾何』(neutral geometry) 或『絕對幾何』(absolute geometry)。


根據歐幾里得的<幾何原理>第五個假定條件描述:如果一條直線與另外兩條直線相交,使得同一邊的內角小於兩個直角(180度),那麼把這兩條線無限制延長,將會在內角和小於兩直角那側的某處相交.這才是描述三角形的內角總和會等於兩個直角相加,也就是180度的根本來源,而四邊形的內角和是根據三角形的內角和所推論出來的.不過這只有在歐式平面裡才成立的.

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿Ｌ
　　　　　Ｄ∕＼Ｅ
　　　　　 ∕ Ａ　＼
　　　 　 ∕　　　　＼
　 　 　 ∕ B　　　Ｃ ＼
　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿　　
在△ＡＢＣ上，畫一條直線Ｌ通過點Ａ，並且於ＢＣ平行。
∵ ∠Ｂ＝∠Ｄ　　（內錯角相等）
　 ∠Ｃ＝∠Ｅ　　（內錯角相等）
∴ ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠Ｄ＋∠Ａ＋∠Ｅ＝180°

三角形的內角和可以大於180度，也可以小於180度。
我們就稱作非歐幾何。

我們所學到的，其實是歐氏幾何，
在歐氏幾何中，三角形的內角和是等於180度的。

但事實上，我們也能發展出另一套幾何(橢圓曲面、雙曲曲面)，
使得三角形的內角和不是180度，而且它們確實是正確的。

在邏輯上，歐氏幾何，並不會比非歐幾何來的真(正確)，
這三者都是正確的，並且三者之間的地位是相同的。

然而，不只是在邏輯上如此。
就連現今的宇宙，科學家發現，
宇宙是比較像非歐幾何裡面所說的，三角形的內角和不是180度。

１．三角形的內角合＝１８０
２．歐式幾何最初的五個公設中，最耐人尋味的莫過於有名的「平行公設」了，它說到「同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於兩直角，則若這兩直線經不斷延伸後在這一側相交」。這個公設與其他四個公設和五個公理似乎格格不入，因為那九個命題似乎都是「顯而易見」的。兩千多年來，許多人嘗試要用另外九個公設 / 公理「證明」平行公設，但任何的證明最後都被發現需要假定一個與平行公設等價的假設。

接下來，就是大家所熟知的故事。德國的高斯 (Gauss, 1777-1855)、匈牙利的波里耶 (Bolyai, 1802-1860) 與俄國的羅巴秋夫斯基 (Lobachevsky, 1793-1856) 三人別獨立地假設平行公設是錯誤的，而發現第一種非歐幾何。在這種幾何中，過直線外一點與此直線不相交的直線將不只一條。我們稱這種幾何為羅巴秋夫斯基幾何 (Lobachevskian geometry) 或雙曲幾何。

從那個時代開始，幾何就從歐幾里得的世界中被「解放出來」，許多不同的幾何被建立，其中最有名的就是黎曼幾何 (Riemannian geometry)。雖然如此，歐式幾何仍然在中學生學習基礎數學中，佔有了重要地位，而且它似乎也較符合人類感官的直覺。歐式幾何中較為基本的部分，也就是不涉及平行公設的部分，與雙曲幾何是完全相容的，這些部分被稱為『中立幾何』(neutral geometry) 或『絕對幾何』(absolute geometry)。

根據歐幾里得的<幾何原理>第五個假定條件描述:如果一條直線與另外兩條直線相交,使得同一邊的內角小於兩個直角(180度),那麼把這兩條線無限制延長,將會在內角和小於兩直角那側的某處相交.這才是描述三角形的內角總和會等於兩個直角相加,也就是180度的根本來源,而四邊形的內角和是根據三角形的內角和所推論出來的.不過這只有在歐式平面裡才成立的.




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　　　　　 ∕ Ａ　＼
　　　 　 ∕　　　　＼
　 　 　 ∕ B　　　Ｃ ＼
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在△ＡＢＣ上，畫一條直線Ｌ通過點Ａ，並且於ＢＣ平行。
∵ ∠Ｂ＝∠Ｄ　　（內錯角相等）
　 ∠Ｃ＝∠Ｅ　　（內錯角相等）
∴ ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠Ｄ＋∠Ａ＋∠Ｅ＝180°